Question

19．长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离为L，板不带电．现在质量为m、电量为q的正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子都打在极板上，不离开磁场区域，可采用的方法是控制速度的大小，求带电粒子运动的速度范围．

Answer 1

分析 带电粒子在磁场中受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力据此可以求得粒子做圆周运动的半径和速度的关系，再根据几何关系粒子不射出磁场，就是粒子做圆周运动的半径不能小于$\frac{L}{4}$（从左侧射出）更不能大于$\frac{5L}{4}$（从右侧射出）从而求出粒子速度的范围．

解答 解：如图所示：

由题意知，带负电的粒子不从左边射出磁场，其在磁场中圆周运动的半径R$≥\frac{L}{4}$，粒子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力即：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$可得粒子做圆周运动的半径R=$\frac{mv}{qB}$
粒子不从左边射出，则$\frac{mv}{qB}≥\frac{L}{4}$，即$v≥\frac{qBL}{4m}$
带电的粒子不从右边射出，如图所示，此时粒子的最大半径为R，由上图可知：
${R}^{2}={L}^{2}+（R-\frac{L}{2}）^{2}$
可得粒子圆周运动的最大半径R=$\frac{5L}{4}$
又因为粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，粒子不从右边射出，则
$\frac{mv}{qB}≤\frac{5L}{4}$
即：此时$v≤\frac{5qBL}{4m}$
所以欲使粒子都打在极板上，不离开磁场区域速度满足$\frac{qBL}{4m}≤v≤\frac{5qBL}{4m}$
答：欲使粒子都打在极板上，不离开磁场区域的速度范围为$\frac{qBL}{4m}≤v≤\frac{5qBL}{4m}$

点评 该题考查了有界磁场的问题，利用几何关系求出轨迹半径是解题的关键．能根据沦洛伦兹力提供向心力得到粒子做圆周运动的半径和粒子速度的关系，并能根据几何关系求出粒子不射出磁场的半径条件．