Question

如图所示，是两对接的轨道，两轨道与水平的夹角均为α=30°，左轨道光滑，右轨道粗糙．一质点自左轨道上距O点L₀处从静止起滑下，当质点第二次返回到左轨道并达到最高点时，它离O点的距离为L₀/3，两轨道对接处有一个很小的圆弧，质点与轨道不会发生碰撞，求质点与右轨道的动摩擦因数．

Answer 1

分析：根据动能定理分别求出小球每次下滑的高度与上升的高度关系，从而得出质点第二次返回到左轨道并达到最高点时高度与原高度的关系式，从而解出质点与右轨道的动摩擦因数．

解答：解：设小球起始高度为h₁，各次到达轨道最高点的高度如图所示．小球从h₁到h₂：
mg （h₁-h₂）=?μmgcosα

h2

sinα

=?μmg?cotα?h₂   （1）
得：h2=

1

1+μcotα

h1                  （2）
小球从h₂到h₃：mg （h₂-h₃）=μmgcotα?h₂
解得：h₃=（1-μcotα）?h₂                   （4）
小球从h₃到h₄，可列与（1）类似的式子，得：
h4=

1

1+μcotα

h3                     （5）
小球从h₄到h₅，可列类似（3）的式子，得：
h₅=（1-μcotα）?h₄                      （6）
由（2）、（4）、（5）、（6）得小球第二次返回左轨道，并达到最高点的高度：
h5=

(1-μcotα)2

(1+μcotα)2

h1                  （7）
根据题意可知：h5=

h1

3

                    （8）
由（7）、（8）式解得：μ=

3 -1

3 +1

tanα=

3 -1

3 +3

=0.155．
答：质点与右轨道的动摩擦因数为0.155．

点评：本题涉及到力在空间的累积效应优先考虑的是动能定理，也可以由牛顿定律和运动学公式求解．