题目内容

(2013?宁波二模)如图所示,用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内,其弯曲部分是由两个半径均为R的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于细管内径),轨道底端D点与粗糙的水平地面相切.现一辆玩具小车m以恒定的功率从E点开始行驶,经过一段时间t之后,出现了故障,发动机自动关闭,小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道,从轨道的最高点A飞出后,恰好垂直撞在固定斜面B上的C点,C点与下半圆的圆心等高.已知小车与地面之间的动摩擦因数为μ,ED之间的距离为x0,斜面的倾角为30°.求:
(1)小车到达C点时的速度大小为多少?
(2)在A点小车对轨道的压力是多少,方向如何?
(3)小车的恒定功率是多少?
分析:(1)小车离开A后做平抛运动,根据竖直方向的分运动可以求出小车的运动时间与竖直分速度,然后在C点根据运动的合成与分解可以求出小车的速度;
(2)小车在A点做圆周运动,由牛顿第二定律求出求出轨道对小车的支持力,然后由牛顿第三定律求出小车对轨道的压力;
(3)从D到A只有重力做功,机械能守恒,应用机械能守恒定律可以求出D点的速度,从E到D应用动能定理可以求出小车的功率.
解答:解:(1)小车到达A点时的速度为vA,离开A点后做平抛运动,落到C点时,
竖直方向上:h═3R=
1
2
gt2
小车到达C点时的竖直分速度:vy=gt,
在C点tan30°=
vA
vy
,v=
v
2
A
+
v
2
y

解得:v=2
2gR
,vA=
2gR

(2)小车在A点的速度vA=
2gR

在A点,由牛顿第二定律得:mg+F=m
v
2
A
R

解得:F=mg,方向竖直向下,
由牛顿第三定律可知,小车对轨道的压力F′=F=mg,竖直向上;
(3)从D到A过程,机械能守恒,由机械能守恒定律得:
1
2
mvD2=mg?4R+
1
2
mvA2
小车从E到D的过程,由动能定理得:
Pt-μmgx0=
1
2
mvD2
解得:P=
μmgx0+5mgR
t

答:(1)小车到达C点时的速度大小为2
2gR

(2)在A点小车对轨道的压力是mg,方向竖直向上;
(3)小车的恒定功率是
μmgx0+5mgR
t
点评:小车的运动过程较为复杂,分析清楚小车的运动过程是正确解题的前提与关键;对小车应用运动的合成与分解、牛顿第二定律、机械能守恒定律、动能定理即可正确解题.
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