Question

（2013?百色模拟）宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上，从P点沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球的密度ρ；
（2）人造卫星围绕该星球做匀速圆周运动的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）先根据平抛运动的分位移公式列式求解重力加速度；然后结合卫星的万有引力提供向心力列式求解星球的密度；
（2）卫星越低越慢，结合卫星的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解最小周期T．

解答：解：（1）在斜坡上方做平抛运动时，设P、Q之间的距离为L，则有：
水平方向：Lcosθ=v₀t
竖直方向：Lsinθ=

1

2

gt2
解得：g=

2v0tanθ

t

设小球质量为m，在星球表面有：
G

Mm

R2

=mg
又ρ=

M

V

解得：ρ=

3v0tanθ

2πRtG

（2）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：
G

Mm

R2

=m(

2π

T

)2R
解得：T=2πR

t 2v0Rtanθ

答：（1）该星球的密度ρ为

3v0tanθ

2πRtG

；
（2）人造卫星围绕该星球做匀速圆周运动的最小周期T为2πR

t 2v0Rtanθ

．

点评：本题关键是通过平抛运动测量重力加速度，然后结合卫星的万有引力提供向心力列式分析．