Question

19．如图所示，固定斜面的倾角为θ，斜面长为L，一长度为$\frac{L}{2}$、质量为m的长木板放在斜面上，其上端与斜面顶端重合；另有一质量也为m的物块放在长木板的上端．现同时释放物块和木板，结果当长木板的下端到达斜面底端时，物块也恰好同时到达长木板的下端．物块与长木板间接触面光滑，重力加速度为g，求
（1）物块在木板上的运动时间t．
（2）长木板与斜面间的动摩擦因数u
（3）长木板的下端到达斜面底端时的速度v．

Answer 1

分析 （1）以物块为研究对象，根据牛顿第二定律求加速度，再根据位移公式求运动时间；
（2）以长木板为研究对象，根据牛顿第二定律列式，再结合位移时间关系，即可求出μ；
（3）对长木板由速度位移公式求长木板的下端到达斜面底端时的速度v．

解答 解：（1）对物块，有$mgsinθ=m{a}_{1}^{\;}$
$L=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$
（2）对长木板，有$mgsinθ-μ2mgcosθ=m{a}_{2}^{\;}$
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
解得：$μ=\frac{tanθ}{4}$
（3）对长木板，有${v}_{\;}^{2}=2{a}_{2}^{\;}\frac{L}{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{gLsinθ}{2}}$
答：（1）物块在木板上的运动时间t为$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$．
（2）长木板与斜面间的动摩擦因数u为$\frac{tanθ}{4}$
（3）长木板的下端到达斜面底端时的速度v为$\sqrt{\frac{gLsinθ}{2}}$．

点评 解决本题的关键是分析清楚物体运动过程，对物体进行正确的受力分析，应用牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．