Question

2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一号”卫星成功撞击月球．“嫦娥一号”卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下，15时36分，卫星启动发动机开始变轨，然后关闭发动机沿抛物线下落，16时13分10秒成功落在月球的丰富海区域．撞击产生了高达10km的尘埃层，设尘埃在空中时只受到月球的引力．模拟撞击实验显示，尘埃能获得的速度可达到卫星撞击前速度的11%；在卫星变轨过程中，航天飞行控制中心还测得，卫星在离月球表面高176km的圆轨道上运行的周期为T₁=125min，在近月（高度不计）圆轨道上运行的周期T₂=107.8min．计算时取

3

107.8

=4.76．试估算（结果保留两位有效数字）
（1）月球半径R和月球表面重力加速度g；
（2）空中尘埃层存在的时间．

Answer 1

分析：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律对卫星在离月球表面高176km的圆轨道和近月轨道分别列式，联立可求得R和g．
（2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，根据位移公式和对称性求空中尘埃层存在的时间．

解答：解：（1）卫星绕月圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，则有
G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T 2 1

（R+h）①
G

Mm

R2

=m

4π2

T 2 2

R ②
由①、②得

(R+h)3

R3

=

T 2 1

T 2 2

 
解得R=1.7×10⁶m ③
 g=

4π2

T 2 2

R=1.6m/s²④
（2）上升最高的尘埃做竖直上抛运动，因此由H=

1

2

g

t

2 下

 得
  t=2t_下=2

2H g

=2.2×10²s
答：
（1）月球半径R和月球表面重力加速度g分别为1.7×10⁶m和1.6m/s²；
（2）空中尘埃层存在的时间是2.2×10²s．

点评：对于卫星问题，建立模型，理清解题思路：万有引力等于向心力是关键．