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精英家教网如图所示，A、B两个小物体（可看成质点）的质量分别为2m、m，它们栓接在跨过定滑轮的细绳两端，细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力．B物体悬吊着静止时，A也静止在地面上，A、B与定滑轮轮轴之间的竖直距离分别为2L、L．现将B物体竖直向上提高距离l，再将其从静止释放．每次细绳被拉直时A、B速度的大小立即变成相等，且速度方向相反，由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力的作用可以忽略不计．物体与地面接触时，速度立即变为0，直到再次被细绳拉起．细绳始终在滑轮上，且不计一切摩擦．重力加速度为g．求
（1）细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小；
（2）A第一次上升过程距离地面的最大高度；
（3）A运动的总路程．
分析：（1）根据自由落体运动的规律可以求得下降高度为l时的速度，再根据动量定理可以求得对A的冲量的大小；
（2）根据A、B组成的系统机械能守恒，可以求得A上升的最大的高度；
（3）根据AB之间每次的相互作用，找出相互作用的规律，总结归纳可以求得A运动的总路程．
解答：解：
（1）B做自由落体，下降高度为l时的速度为v0，根据vt2-v02=2ax得v0=
2gl

此时细绳被拉直，A、B速度的大小立即变成v1，设绳子对A、B的冲量大小为I，根据动量定理得对B：-I=mv1-mv0对A：I=2mv1解得细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小I=
2m
2gl
3

（2）由（1）可得A第一次离开地面时速度的大小v1=
v0
3
=
2gl
3

从A离开地面到A再次回到地面的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，假设A第一次上升过程距离地面的最大高度为x1，则
1
2
(m+2m)
v
2
1
+mgl=2mgx1+mg(l-x1)解得    x1=
3
v
2
1
2g
=
l
3

（3）从A离开地面到A再次回到地面的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，所以，A再次回到地面时速度的大小依然为v1，即B再次回到距离地面高度为l时速度的大小也为v1．此后B做竖直上抛运动，落回距离地面高度为l时速度的大小还是v1．
根据（1）求解可得A第二次离开地面时速度的大小v2=
v1
3

同理可求A第二次离开地面上升的最大高度为x2=
3
v
2
2
2g
=
1
32
?
3
v
2
1
2g

…
A第n次离开地面时速度的大小vn=
vn-1
3
=
v1
3n-1

同理可求A第n次离开地面上升的最大高度为xn=
3
v
2
n
2g
=
1
32(n-1)
?
3
v
2
1
2g

由于A的质量大于B的质量，A最终会静止在地面上．
所以A运动的总路程x=2（x1+x2+…+xn+…）=
3
v
2
1
g
(1+
1
32
+…+
1
32(n-1)
+…)=
3
4
l．
点评：根据AB之间的第一次的相互作用，分析总结之后的每次相互作用的规律，根据AB相互作用的规律来解答本题，找出规律是解决本题的关键．
练习册系列答案
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