Question

7．如图所示，水平放置的电容器与滑动变阻器R_x并联，然后与阻值为R₀的定值电阻以及间距为s的足够长的光滑固定倾斜导轨相连接，导轨处于匀强磁场之中，磁场方向垂直于导轨平面向上．将滑动变阻器R_x的阻值调到等于定值电阻的阻值R₀，然后将导体棒自导轨上端由静止释放，待速度稳定后，从电容器左端中点沿两极板中线以水平速度v₀射入的电子恰能从极板边缘离开电场．已知磁场的磁感应强度为B，电子的质量为m（重力忽略不计）、电荷量为q．电容器两板间距为d、板长为L，金属导轨与水平面夹角为θ，导体棒的电阻为R₀，重力加速度为g．则：
（1）电子从哪个极板离开电场？
（2）求导体棒的质量M以及导体棒稳定时的速度v_l．

Answer 1

分析 （1）根据右手定则判断感应电流的方向，得到电容器中的电场方向，判断电子受电场力的方向；
（2）由电磁感应定律求电动势E=BLv、闭合电路欧姆定律求电流I=$\frac{E}{R}$，由导体棒受力平衡求速度，由带电粒子的匀速通过电容器求电压，结合闭合电路求速度．

解答 解：（1）由右手定则可知，导体棒a端为等效电源正极，则电容器下极板为正，电子向下偏转从下极板离开电场；
（2）电子做类似平抛运动，竖直方向上：a=$\frac{qU}{md}$，$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}a{t^2}$；
水平方向上：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$；
联立可得：U=$\frac{{m{d^2}v_0^2}}{{q{L^2}}}$，
导体棒切割磁感线产生的感应电动势为：E=3IR₀=$\frac{{3m{d^2}v_0^2}}{{q{L^2}}}$，
又有E=Bsv₁，
联立解得：v₁=$\frac{{3m{d^2}v_0^2}}{{q{L^2}Bs}}$，
速度稳定时，导体棒受力平衡，则：Mgsinθ=BIl，
解得：M=$\frac{{Bm{d^2}v_0^2s}}{{q{L^2}{R_0}gsinθ}}$；
答：（1）电子从下极板离开电场；
（2）导体棒的质量M为$\frac{{Bm{d^2}v_0^2s}}{{q{L^2}{R_0}gsinθ}}$，导体棒稳定时的速度v_l为$\frac{{3m{d^2}v_0^2}}{{q{L^2}Bs}}$．

点评 本题是力电综合问题，关键是明确电路结构、知道导体棒受力平衡、电子做类似平抛运动，要根据平衡条件、类平抛运动的分运动公式、闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律列式求解，较难．