Question

1．光滑曲面与倾角θ=30°的固定粗糙斜面平滑连接，一物体（可视为质点）自光滑曲面高为h处自由下滑到最低点后滑上斜面一定高度又返回到光滑曲面上．已知第二次返回到光滑曲面上达到的最大高度为$\frac{h}{3}$，求：
（1）物体第一次到到光滑曲面最低点时的速度v₁；
（2）物体与斜面之间的动摩擦因数μ；
（3）要使物体不冲出斜面，斜面长度至少为多少？

Answer 1

分析 （1）由机械能定律求物体第一次到到光滑曲面最低点时的速度v₁．
（2）由牛顿第二定律求出物体在斜面上上滑和下滑时的加速度大小，由速度位移公式分别研究在斜面上上滑和下滑的过程，联立求解．
（3）根据上题的结果，求得斜面的最小长度．

解答 解：（1）由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{2gh}$
（2）设小球第一次沿斜面滑到最低点的速度为v₂，第二次沿斜面滑到最低点的速度为v₃，沿斜面上滑的加速度为a₁，沿斜面下滑的加速度为a₂，第一次滑上斜面长为l₁，第二次滑上斜面长为l₂，则有：
${v}_{1}^{2}$=2a₁l₁…①
${v}_{2}^{2}$=2a₂l₁…②
${v}_{2}^{2}$=2a₁l₂…③
${v}_{3}^{2}$=2a₂l₂…④
由①②③④解得 ${v}_{1}^{2}$=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}}{v}_{3}^{2}$…⑤
由牛顿第二定律得：
上滑时有 mgsinθ+μmgcosθ=ma₁…⑥
下滑时有 mgsinθ-μmgcosθ=ma₂…⑦
又有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…⑧
mg•$\frac{1}{3}$h=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$…⑨
由⑤⑥⑦⑧⑨得：μ=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+3}$
（3）代入μ=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+3}$，第一次上滑加速度为：a₁=$\frac{3}{3+\sqrt{3}}$g
所以斜面至少长为：l₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$h
答：（1）物体第一次到到光滑曲面最低点时的速度v₁是$\sqrt{2gh}$．
（2）物体与斜面之间的动摩擦因数μ是$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+3}$．
（3）要使物体不冲出斜面，斜面长度至少为$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$h．

点评 本题是多过程，分过程反复运用牛顿第二定律和运动学公式列式是关键，还要把握每个过程的联系，如速度关系、高度关系等．