Question

如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动：
（1）当v₁=

gL 6

时，求绳对物体的拉力；
（2）当v₂=

3gL 2

时，求绳对物体的拉力．

Answer 1

分析：（1）物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．
（2）当速度大于临界速度时，小球离开圆锥面，由重力和绳的拉力的合力提供向心力，再由牛顿第二定律求解．

解答：解：临界条件为圆锥体对小球的支持力 F_N=0  ①
由牛顿第二定律可列出方程：
  F_n=

mv2

r

=

m v 2 0

Lsin30°

又 F_n=mgtan30°  ②
解得：v₀=

3 gL 6

 ③
（1）因v₁＜v₀，F_N≠0，对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律
  Fsinθ-F_Ncosθ=

m v 2 1

Lsinθ

  ④
  Fcosθ+F_Nsinθ-mg=0  ⑤
解得：F=

(1+3 3 )mg

6

  ⑥
（2）因v₂＞v₀，物体离开斜面，对小球受力分析如图所示，设绳与竖直方向的夹角为α．
由牛顿第二定律得
  Fsinα=

m v 2 2

Lsinα

  ⑦
  Fcosα-mg=0  ⑧
解得：F=2mg  ⑨
答：（1）当v₁=

gL 6

时，绳对物体的拉力为

(1+3 3 )mg

6

；（2）当v₂=

3gL 2

时，绳对物体的拉力为2mg．

点评：解决本题的关键找出物体的临界情况，正确分析受力，确定向心力的来源，并能够熟练运用牛顿第二定律求解．