Question

（2005?宿迁模拟）两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中．
（1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？
（2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v₀，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？

Answer 1

分析：（1）金属棒ab锁定，cd棒先向右做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，当cd棒稳定时，所受的安培力和恒力平衡，根据平衡，结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律和安培力公式求出金属棒cd的运动速度．
（2）ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动．对两棒分别运用动量定理列式，求通过ab棒的电量．由法拉第电磁感应定律求相对位移．

解答：解：（1）当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度运动，有：
  F=BIL  ①
又 I=

BLv

2R

 ②
联立得：v=

2FR

B2L2

 ③
（2）ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动．
设这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q．
则对于ab棒，由动量定理得：BILt=2mv′，
又It=Q
即：BLQ=2 mv′④
同理，对于cd棒：-BILt=mv′-mv₀  即：BLQ=m（v₀-v′） ⑤
由④⑤两式得：Q=

2mv0

3BL

 ⑥
设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得：E=

△Φ

t

=

BLS

t

 ⑦
流过ab的电量：Q=

E

2R

t ⑧
由⑥⑦⑧两式得：S=

4mv0R

3B2L2

 ⑨
答：
（1）金属棒cd的运动速度是

2FR

B2L2

．
（2）流过金属棒ab的电量是

2mv0

3BL

．整个过程中ab和cd相对运动的位移是

4mv0R

3B2L2

．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律、动量守恒定理和能量守恒定律等，综合性较强，关键理清过程，选择合适的规律进行求解．运用动量定理求感应电量、运用法拉第定律、欧姆定律结合求相对位移或移动距离是常用的思路，要学会运用．