题目内容
如图所示，在真空中的竖直平面内，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B，A球的电荷量为+4q，B球的电荷量为-3q，组成一带电系统．虚线MN与PQ平行且相距3L，开始时PQ恰为杆的中垂线．在MN与PQ间加竖直向上的匀强电场，恰能使带电系统静止不动．现使电场强度突然加倍（已知当地重力加速度为g），求：（1）B球刚进入电场时的速度v1的大小；
（2）B球的最大位移及从开始静止到最大位移处B球电势能的变化量；
（3）带电系统运动的周期T．
分析：（1）带电系统静止时，A所受的电场力与总重力平衡，由二力平衡得出电场强度的表达式．电场强度突然加倍后，系统向上做匀加速直线运动，电场力对A作正功，重力做负功，由动能定理求出B球刚进入电场时的速度v1的大小；
（2）B球进入电场后，系统做匀减速直线运动，从开始到A刚运动到MN线时，电场力对系统做功为2E?4q?2L-2E?3q?L=10qEL，系统克服重力做功为2mg?2L=8qEL，则电场力对系统做功大于系统克服重力做功，说明A到达MN线时系统仍有向上的速度，则A将越过MN线，根据动能定理求出B球在电场中最大位移．根据电场力对B球做的功，分析B球的电势能的变化量．
（3）系统向上运动分为三阶段：第一阶段匀加速运动：从系统开始向上运动到B球刚进入电场过程，系统做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出加速度，由初速度0和末速度v1，由速度公式求出运动的时间．第二阶段匀减速运动：从B球进入电场到A刚出电场，系统做匀减速直线运动，此过程通过的位移等于L，由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出此过程运动的时间；第三阶段匀减速运动：A出电场后，系统做匀减速直线运动，由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出此过程运动的时间，最后求出总时间．
（2）B球进入电场后，系统做匀减速直线运动，从开始到A刚运动到MN线时，电场力对系统做功为2E?4q?2L-2E?3q?L=10qEL，系统克服重力做功为2mg?2L=8qEL，则电场力对系统做功大于系统克服重力做功，说明A到达MN线时系统仍有向上的速度，则A将越过MN线，根据动能定理求出B球在电场中最大位移．根据电场力对B球做的功，分析B球的电势能的变化量．
（3）系统向上运动分为三阶段：第一阶段匀加速运动：从系统开始向上运动到B球刚进入电场过程，系统做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求出加速度，由初速度0和末速度v1，由速度公式求出运动的时间．第二阶段匀减速运动：从B球进入电场到A刚出电场，系统做匀减速直线运动，此过程通过的位移等于L，由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出此过程运动的时间；第三阶段匀减速运动：A出电场后，系统做匀减速直线运动，由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出此过程运动的时间，最后求出总时间．
解答：解：
（1）设带电系统静止时电场强度为E，则有2mg=4qE，解得E=
①
电场强度加倍后，系统从开始静止到B进入电场，根据动能定理有
(2E×4q-2mg)L=
×2m
②
联立①②得B球刚进入电场时的速度v1=
（2）设B球在电场中的最大位移为s，经分析知A球向上越过了MN，
根据动能定理得
对整个过程：2E?4q?2L-2E?3q?s-2mg（s+L）=0
解得s=1.2L
故B球的最大位移s总=2.2L
电场力对B球做功W=-2E?3q?1.2L=-3.6mgL
所以B球电势能增加3.6mgL
（3）带电系统向上运动分为三阶段：
第一阶段匀加速运动，根据牛顿第二定律有
a1=
=g，运动时间t1=
=
；
第二阶段匀减速运动，同理可得a2=
=
设A球出电场时速度为v2，根据运动学公式有：v22-v12=-2a2L，
解得v2=
，t2=
=2(
-1)
；
第三阶段匀减速运动，a3=
=
，t3=
=
则运动周期T=2(t1+t2+t3)=(6
-
)
答：（1）B球刚进入电场时的速度v1的大小为
；
（2）B球的最大位移为2.2L，从开始静止到最大位移处B球电势能增加3.6mgL；
（3）带电系统运动的周期T=2(t1+t2+t3)=(6
-
)
．
（1）设带电系统静止时电场强度为E，则有2mg=4qE，解得E=
| mg |
| 2q |
电场强度加倍后，系统从开始静止到B进入电场，根据动能定理有
(2E×4q-2mg)L=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 1 |
联立①②得B球刚进入电场时的速度v1=
| 2gL |
（2）设B球在电场中的最大位移为s，经分析知A球向上越过了MN，
根据动能定理得
对整个过程：2E?4q?2L-2E?3q?s-2mg（s+L）=0
解得s=1.2L
故B球的最大位移s总=2.2L
电场力对B球做功W=-2E?3q?1.2L=-3.6mgL
所以B球电势能增加3.6mgL
（3）带电系统向上运动分为三阶段：
第一阶段匀加速运动，根据牛顿第二定律有
a1=
| 8qE-2mg |
| 2m |
| v1 |
| a1 |
|
第二阶段匀减速运动，同理可得a2=
| 2mg+6qE-8qE |
| 2m |
| g |
| 2 |
设A球出电场时速度为v2，根据运动学公式有：v22-v12=-2a2L，
解得v2=
| gL |
| v2-v1 |
| a2 |
| 2 |
|
第三阶段匀减速运动，a3=
| 2mg+6qE |
| 2m |
| 5g |
| 2 |
| v2 |
| a3 |
| 2 |
| 5 |
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则运动周期T=2(t1+t2+t3)=(6
| 2 |
| 16 |
| 5 |
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答：（1）B球刚进入电场时的速度v1的大小为
| 2gL |
（2）B球的最大位移为2.2L，从开始静止到最大位移处B球电势能增加3.6mgL；
（3）带电系统运动的周期T=2(t1+t2+t3)=(6
| 2 |
| 16 |
| 5 |
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点评：本题是电场与力学的综合题，比较复杂，关键存在分析物体系统的受力情况，来确定运动情况．考查综合应用电场知识与力学知识的能力．
练习册系列答案
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