题目内容

（2013?江苏一模）如图所示，一比荷为1
0
5
 
C/kg的带正电粒子A以速度
v
 
0
=1
0
4
 
m/s从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B=1T的圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁场方向垂直纸面向外．粒子飞出磁场区域后，经过一段时间又从点P处经过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E=
4
3
×1
0
3
 
V/m、方向沿与x轴正方向成60°角斜向上的匀强电场中．粒子的重力不计，试求：
（1）P点的坐标；
（2）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（3）若在A进入电场的同时，在电场中适当的位置由静止释放另一与A完全相同的带电粒子B，可使两粒子在离开电场前相遇．求所有满足条件的释放点的集合（不计两粒子之间的相互作用力）．
分析：（1）根据题意，带电粒子在磁场中的轨迹圆弧对应的圆心角为120°，带电粒子从O处进入磁场，转过120°后离开磁场，再做直线运动从P点射出，根据带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力即可求得半径；然后根据几何关系即可求得OP之间的距离．
（2）先求出连接粒子在磁场区入射点和出射点的弦长，要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为弦长L的一半，求出半径即可求得最小面积．
（3）粒子A垂直于电场的方向进入电场，在电场中做类平抛运动，沿电场方向做匀加速直线运动，沿垂直于电场的方向做匀速直线运动；粒子B沿电场的方向做匀加速直线运动，由于粒子B与A完全相同，而且运动的时间相等，所以需要在A离开磁场时速度的方向PQ′上一定的范围内释放粒子B，可保证两个粒子在离开电场前相碰．
解答：解：（1）做出带电粒子运动的轨迹如图，带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力，
则 qvB=m
v
2
0
R

其转动半径为 R=
mv0
qB
=0.1m
带电粒子从O处进入磁场，转过120°后离开磁场，再做直线运动从P点射出时OP距离：d=R+2R=3R=0.3m
P点的坐标：（0.3m，0）
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点和出射点得弦长为：L=
3
R
要使圆形匀强磁场区域面积最小，其半径刚好为L的一半，即：r=
1
2
L
其面积为S=πr2=
3π
400
m2
（3）粒子A垂直于电场的方向进入电场，在电场中做类平抛运动，沿电场方向做匀加速直线运动，沿垂直于电场的方向做匀速直线运动；粒子B沿电场的方向做匀加速直线运动，由于粒子B与A完全相同，而且运动的时间相等，所以需要在A离开磁场时速度的方向PQ′上一定的范围内释放粒子B，可保证两个粒子在离开电场前相碰．
由几何知识得A离开磁场时速度方向所在直线的方程为：y=-
3
3
x+
3
10

粒子A从P进入电场后做类平抛运动，设A离开电场时距离P点为L，则：Lcos30°=v0t
Lsin30°=
1
2
qE
m
t2
代入数据可得：L=1m
PQ′=Lcos30°=
3
2
m
故Q′点的横坐标：xQ′=xP+PQ′?cos30°=0.3m+0.75m=1.05m
所以该直线上满足0.3m≤x≤1.05m的任一点释放粒子B都能满足要求．
答：（1）P点的坐标P点的坐标：（0.3m，0）；
（2）圆形匀强磁场区域的最小面积S=
3π
400
m2；
（3）所有满足条件的释放点的集合：直线y=-
3
3
x+
3
10
上满足0.3m≤x≤1.05m的任一点释放粒子B都能满足要求．
点评：本题主要考查了带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的问题，知道向心力由洛伦兹力提供，学会利用圆心角去求运动时间，难度适中．
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0.4m
．

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