Question

（2013?开封一模）在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”．这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似．两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态．在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v₀．射向B球，如图所示．C与B发生碰撞并立即结成一个整体D．在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变．然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连．过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）．已知A、B、C三球的质量均为m．
（i）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度．
（ii）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析：（i）C球与B球粘连成D时由动量守恒定律列出等式，当弹簧压缩至最短时，D与A的速度相等由动量守恒定律解答弹簧长度刚被锁定后A球的速度．
（ii）弹簧长度被锁定后由能量守恒列出等式，解除锁定后，当弹簧刚恢复自然长度时，势能全部转变成D的动能由能量守恒和动量守恒定律列出等式求解．

解答：解：（i）设C球与B球发生碰撞并立即结成一个整体D时，D的速度为v₁，由动量守恒有：
mv₀=（m+m）v₁… ①
当弹簧压缩至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v₂，由动量守恒有：
2mv₁=3mv₂… ②
由①②两式得A的速度为：v₂=

1

3

v0
（ii）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E_p，由能量守恒有：

1

2

?2mv

2 1

=

1

2

?3m

v

2 2

+E_p
撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为v₃，
则有：E_p=

1

2

(2m)

v

2 3

以后弹簧伸长，A球离开档板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长．
设此时的速度为v₄，由动量守恒定律得：2mv₃=3mv₄
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为E_P′，
由能量守恒定律得：

1

2

(2m)

v

2 3

=

1

2

(3m)

v

2 4

+E_P′，
由以上各式解得：E_P′=

1

36

m

v

2 0

答：（i）弹簧长度刚被锁定后A球的速度为

1

3

v0．
（ii）在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能是

1

36

m

v

2 0

．

点评：本题主要考查了动量守恒定律及能量守恒定律的应用，关键要知道当弹簧伸到最长时，其势能最大．