Question

【题目】如图甲为科技小组的同学们设计的一种静电除尘装置示意图，其主要结构有一长为L，宽为b，高为d的矩形通道，其前、后板使用绝缘材料，上、下板使用金属材料，图乙是该主要结构的截面图，上、下两板与输出电压可调的高压直流电源（内电阻可忽略不计）相连，质量为m、电荷量大小为q的分布均匀的带负电的尘埃无初速度地进入A、B两极板间的加速电场。已知A、B两极板间加速电压为，尘埃加速后全都获得相同的水平速度，此时单位体积内的尘埃数为n。尘埃被加速后进入矩形通道，当尘埃碰到下极板后其所带电荷被中和，同时尘埃被收集，通过调整高压直流电源的输出电压U可以改变收集效率（被收集尘埃的数量与进入矩形通道尘埃的数量的比值）。尘埃所受的重力，空气阻力及尘埃之间的相互作用均可忽略不计，在该装置处于稳定工作状态时：

（1）求在较短的一段时间呢，A、B两极板间加速电场对尘埃所做的功；

（2）若所有进入通道的尘埃都被收集，求通过高压直流电源的电流；

（3）请推导出收集效率随电压直流电源输出电压U变化的函数关系式。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）若，；若，效率为100％

【解析】

试题分析：（1）设电荷经过极板B的速度大小为，对于一个尘埃通过加速电场过程中，加速电场做功为

在时间内从加速电场出来的尘埃总体积是

其中的尘埃的总个数

故A、B两极板间的加速电场对尘埃所做的功

对于一个尘埃通过加速电场过程，根据动能定理可得

故解得

（2）若所有进入矩形通道的尘埃都被收集，则时间内碰到下极板的尘埃的总电荷量

通过高压直流电源的电流

（3）对某一尘埃，其在高压直流电源形成的电场中运动时，在垂直电场方向做速度为的匀速直线运动，在沿电场力方向做初速度为0的匀加速直线运动

根据运动学公式有：垂直电场方向位移，沿电场方向位移

根据牛顿第二定律有

距下板y处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，则x=L

解得

若，即，则收集效率

若，则所有的尘埃都到达下极板，效率为100％