Question

如图所示，两条足够长的互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为L=0.5m．在导轨的一端分别接有阻值均为0.6Ω的电阻R₁、R₂，在x≥0处有一与水平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B=1T．一质量m=0.2kg的金属杆垂直放置在导轨上，金属直杆的电阻是r=0.2Ω，其他电阻忽略不计，金属直杆以一定的初速度v₀=4m/s进入磁场，同时受到沿x轴正方向的恒力F=3.5N的作用，在x=2m处速度达到稳定．求：
（1）金属直杆达到的稳定速度v₁是多大？
（2）若拉力在金属棒达到稳定速度前某一时刻突然反向，大小不变，从拉力反向到棒的速度减为零时止，通过R₁的电量为0.1C，R₁上产生的热量为0.54J，则拉力反向时棒的速度v₃多大？

Answer 1

分析：（1）金属直杆稳定时做匀速直线运动，合力为零，推导出安培力与速度的关系式，由安培力与恒力F平衡，求解速度v₁．
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得到感应电荷量q=

△Φ

R总

求解金属杆通过的距离，再根据能量守恒定律求解速度v₃．

解答：解：（1）金属直杆的速度达到稳定时，产生的感应电动势为：E=BLv₁；
感应电流为：I=

E

R总

金属杆所受的安培力：F_安=BIL
而R_总=

R1R2

R1+R2

+r=（0.3+0.2）Ω=0.5Ω
联立得：F_安=

B2L2v1

R总

根据平衡条件得：F=F_安，
联立得：v₁=

FR总

B2L2

=

3.5×0.5

12×0．52

m/s=7m/s
（2）设从拉力反向到棒的速度减为零时杆通过的距离为s．
由于R₁、R₂并联，则通过金属杆的电量：q=2×0.1C=0.2C．
又 q=

.

I

△t=

. E

R   总

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLs
联立得：q=

BLs

R总

得：s=

qR总

BL

=

0.2×0.5

1×0.5

m=0.2m
由题意，R₁上产生的热量为 Q₁=0.54J，则R₂上产生的热量为：Q₂=Q₁=0.54J
设金属杆产生的热量为Q_r．根据串联电路的特点可得：

Qr

2Q1

=

R并

r

，
得：Q_r=

R并

r

?2Q₁=

0.3

0.2

×2×0.54J=1.62J
根据能量守恒定律得：2Q₁+Q_r+Fs=

1

2

m

v

2 3

得：v₃=

2(2Q1+Qr+Fs) m

=

2×(2×0.54+1.62+3.5×0.2) 0.2

=

34

m/s
答：（1）金属直杆达到的稳定速度v₁是7m/s．
（2）拉力反向时棒的速度v₃是

34

m/s．

点评：本题是电磁感应与力学、电路等等知识的综合应用，关键要会推导安培力和感应电量表达式．