Question

9．如图所示，磁感应强度大小B=0.3T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径R=0.20m的圆形区城内，圆的水平直径上方竖直分界线MN的左侧有水平向右的匀强电杨，竖直分界线MN右侧有水平向左的匀强电场，电扬强度大小均为E=4$\sqrt{3}$×10⁴V/m，在圆的水平直径AOC的A点有一粒子源，同时沿直径AO方向射出速度分别为v₁=$\sqrt{3}$×10⁶m/s和v₂=3$\sqrt{3}$×10⁶m/s的带正电的两个粒子，如果粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，且不计粒子重力及粒子间的相互作用．求：
（1）两个粒子分别离开磁扬后进人电场时的位置到圆形磁场水平直径的距离；
（2）两个粒子第二次到达电杨边界时的位置到圆形磁场水平直径的距离．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力求出粒子在圆形磁场中运动的半径以及圆心角，结合几何关系求出进入电场时的位置到水平直径的距离
（2）进入电场的粒子处理方法是分解为垂直电场线方向的匀速直线运动和沿电场方向的匀变速直线运动，利用运动学规律求出时间和位移，即可求解出到水平直径的距离

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$R=\frac{mv}{qB}$
两粒子半径分别为${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{5.0×1{0}_{\;}^{7}×0.3}=\frac{\sqrt{3}}{15}m$
${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qB}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
粒子1圆弧所对的圆心角为${θ}_{1}^{\;}$粒子2圆弧所对的圆心角为${θ}_{2}^{\;}$
由几何关系有$tan\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{R}{{R}_{1}^{\;}}$，$tan\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{R}{{R}_{2}^{\;}}$
代入数据解得${θ}_{1}^{\;}=120°$
${θ}_{2}^{\;}=60°$
画出运动的轨迹图如图
粒子1离开磁场进入左边电场，离子2离开磁场进入右边磁场，进入电场的位置距水平直径等高
根据几何关系$tan60°=\frac{l}{R}$
解得$l=\sqrt{3}R=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
（2）两粒子进入电场后，将运动分解为垂直电场线和平行电场线处理
${v}_{1⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos30°=1.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$         ${v}_{2⊥}^{\;}={v}_{2}^{\;}cos30°=4.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
${v}_{1∥}^{\;}={v}_{1}^{\;}sin30°=\frac{\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$         ${v}_{2∥}^{\;}={v}_{2}^{\;}sin30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$
粒子加速度，根据牛顿第二定律qE=ma
$a=\frac{qE}{m}=2\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{12}m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}=\frac{2{v}_{1∥}^{\;}}{a}=5×1{0}_{\;}^{-7}s$
粒子1垂直电场线方向的位移${y}_{1}^{\;}={v}_{1⊥}^{\;}{t}_{1}^{\;}=\frac{3}{4}m$
粒子2运动时间${t}_{2}^{\;}=\frac{2{v}_{2∥}^{\;}}{a}=1.5×1{0}_{\;}^{-6}s$
粒子2垂直电场线方向的位移${y}_{2}^{\;}={v}_{2⊥}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{27}{4}m$
粒子1到水平直径的距离$△{x}_{1}^{\;}=l+{y}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{4}=\frac{4\sqrt{3}+15}{20}m$
粒子2到水平直径的距离$△{x}_{2}^{\;}=l+{y}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{27}{4}=\frac{4\sqrt{3}+135}{20}m$
答：（1）两个粒子分别离开磁扬后进人电场时的位置到圆形磁场水平直径的距离均为$\frac{\sqrt{3}}{5}$m；
（2）两个粒子第二次到达电杨边界时的位置到圆形磁场水平直径的距离分别为$\frac{4\sqrt{3}+15}{20}m$．$\frac{4\sqrt{3}+135}{20}m$

点评 本题考查带电粒子在复合场中运动的问题，关键是弄清物理情景，画出运动轨迹图，结合几何关系求解，记住半径和周期公式．