Question

12．如图（a）所示，两块足够大的平行金属板竖直放置，板间距d=15m，o和o′分别为两板的中心，板间存在空间分布均匀、大小和方向随时间变化的电场和磁场，变化规律分别如图（b），（c）所示（规定水平向右为电场的正方向，垂直纸面向里为磁场的正方向），在t=0时刻从左板中心O点由静止释放一带正电的粒子（不计重力），粒子的比荷$\frac{q}{m}$=3×10⁶C/kg，求：

（1）在0-1×10^-5S时间内粒子运动的位移的大小及获得的速度大小
（2）粒子最终打到右极板上的位置．

Answer 1

分析 （1）在0-1×10^-5S时间内粒子在电场中做加速度运动，由牛顿第二定律求的加速度，由运动学公式求的速度和位移；
（2）在1×10^-5s-3×10^-5s内，粒子作匀速圆周运动，求的半径和周期，；在3×10^-5s-4×10^-5s粒子继续作匀加速直线运动，由匀变速直线运动的规律求的位移和速度；4×10^-5s后粒子做匀速圆周运动，有几何关系即可求得位置

解答 解：（1）如图，在0-1×10^-5s内，粒子在电场中作匀加速直线运动，由牛顿第二定律可知粒子加速度为：
$a=\frac{qE}{m}$=3×10⁶×2×10²m/s²=6×10⁸m/s²
由运动学公式可得：
${x}_{1}=\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×6×1{0}^{8}×（1×1{0}^{-5}）^{2}m$=0.03m
${v}_{1}=a{t}_{1}=6×1{0}^{8}×1×1{0}^{-5}m/s=6×1{0}^{3}m/s$
（2）在1×10^-5s-3×10^-5s内，粒子作匀速圆周运动，有：$q{v}_{1}B=\frac{{mv}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$…①
$T=\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{1}}$…②
由①②得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{1}{3×1{0}^{-6}}×\frac{6×1{0}^{3}}{\frac{π}{15}}s=\frac{3}{π}×1{0}^{-2}m＜0.12m$
$T=\frac{2πm}{qB}=\frac{2π}{\frac{π}{15}}×\frac{1}{3×1{0}^{-6}}s=1×1{0}^{-5}s$
所以1×10^-5s-3×10^-5s，粒子正好作两个周期的完整圆周运动；3×10^-5s-4×10^-5s粒子继续作匀加速直线运动，由匀变速直线运动的规律：
x₁：x₂=1：3；v₁：v₂=1：2，
得：x₂=0.09m；
${v}_{2}=12×1{0}^{3}m/s$
4×10^-5s后粒子做匀速圆周运动，轨道半径为：
${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=\frac{1}{3×1{0}^{6}}×\frac{12×1{0}^{3}}{\frac{2}{25}}m=5×1{0}^{-2}m$
由几何关系，粒子打在O′点下方：$y={r}_{2}-\sqrt{{r}_{2}^{2}-{（d-{x}_{1}-{x}_{2}）}^{2}}=0.01m$
答：（1）在0-1×10^-5S时间内粒子运动的位移的大小为3cm，获得的速度大小为6×10³m/s
（2）粒子最终打到右极板上的位置为O′点下方0.01m处

点评 带点粒子在复合场中的运动本质是力学问题
1、带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．
2、分析带电粒子在复合场中的受力时，要注意各力的特点，如带电粒子无论运动与否，在重力场中所受重力及在匀强电场中所受的电场力均为恒力，而带电粒子在磁场中只有运动 （且速度不与磁场平行）时才会受到洛仑兹力，力的大小随速度大小而变，方向始终与速度垂直，故洛仑兹力对运动电荷只改变粒子运动的方向，不改变大小