Question

平面直角坐标系xOy中，第1象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点与y轴正方向成60⁰角射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R；
（2）粒子从M点运动到P点的总时间t；
（3）匀强电场的场强大小E．

Answer 1

分析：粒子在坐标轴第一象限做类平抛运动，已知类平抛的初速度v₀，和离开电场时的速度方向与x轴方向成60°角，根据类平抛运动规律，根据初速度可以求出粒子进入磁场的初速度v，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，已知速度v和磁感应强度B，可得粒子做圆周运动的轨道半径R；
粒子的运动分为两部分，一是在第一象限内做类平抛运动，二是在第四象限内做匀速圆周运动，分段求出时间，相加可得总时间．在y轴方向上可以求得粒子的速度v，据v=at可以得出粒子的加速度a，由于是电场力产生加速度，故可以求出电场强度E．

解答：解：
（1）设粒子过N点时的速度为v，根据平抛运动的速度关系
v=

v0

cos60°

①
分别过N、P点作速度方向的垂线，相交于Q点，则Q是粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，根据牛顿第二定律 qvB=

mv2

R

②
联立①②解得轨道半径 R=

2mv0

qB

③
（2）设粒子在电场中运动的时间为t₁，有 ON=v₀t₁ ④
由几何关系得 ON=Rsin30°+Rcos30°⑤
联立③④⑤解得 t₁=

(1+ 3 )m

qB

⑥
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T=

2πm

qB

⑦
由几何关系知∠NQP=150°，设粒子在磁场中运动的时间为t₂
t₂=

150°

360°

T⑧
联立⑦⑧解得 t₂=

5πm

6qB

⑨
故粒子从M点运动到P点的总时间 t=t₁+t₂=（1+

3

+

5π

6

）

m

qB

⑩
（3）粒子在电场中做类平抛运动，设加速度为a，运动时间为t
由牛顿第二定律：qE=ma   （11）
设沿电场方向的分速度为v_y，
v_y=at（12）
粒子在电场中x轴方向做匀速运动，由图根据粒子在磁场中的运动轨迹可以得出：
粒子在x轴方向的位移：Rsin30°+Rcos30°=v₀t  （13）
  又：v_y=v₀tan60°（14）
联立（11）（12）（13）（14）可以解得E=

(3- 3 )v0B

2

    
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径为

2mv0

qB

（2）粒子从M点运动到P点的总时间为（1+

3

+

5π

6

）

m

qB

（3）匀强电场的场强大小为

(3- 3 )v0B

2

点评：掌握平抛运动的处理方法并能运用到类平抛运动中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系．