Question

所谓“水流星”表演时，就是用绳系着装有水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，而水不洒落．如果在表演“水流星”节目时，栓杯子的绳长为L，其最大承受力是杯子和杯内水的重量的8倍，要使绳子不断裂，节目表演成功，杯子通过最高点时速度的取值范围为多少？

Answer 1

分析：杯子在竖直平面内做圆周运动，绳子拉力最小在最高点，拉力最大在最低点，借助机械能守恒和通过最高点的临界条件求解．

解答：解：杯子在最低点时，进行受力分析如图
．
设杯子在最低点时的瞬时速度为v₂，杯子和杯内的水的总质量为m
∴T-mg=

mv2

L

 
即T=mg+

mv2

L

①
又0≤T≤8mg     ②
∴由①②式可以解得

1

2

mv2≤

7

2

mgL     ③
在杯子的整个运动过程中，只有重力做功（绳子的拉力的方向始终与运动的方向垂直，所以不做功，空气阻力忽略不计），机械能守恒．
设杯子在最高点时的瞬时速度为u
∴

1

2

mu2+2mgL=

1

2

mv2    ④
由③④式可以解得u≤

3gL

又要使杯子和杯内的水能在竖直平面内做完整的圆周运动，在最高点时，必须满足至少杯子和杯内的水的重力全部用来提供向心力．
即mg≤

mu2

L

∴u≥

gL

综上所述

gL

≤u≤

3gL

答：杯子通过最高点时速度的取值范围为

gL

≤u≤

3gL

．

点评：水桶在竖直面内做圆周运动时向心力的来源是解决题目的重点，分析清楚哪一个力做为向心力，再利用向心力的公式可以求出来，必须要明确的是当水桶恰好能过最高点时，只有水的重力作为向心力，此时水恰好流不出来．