Question

一边长为L的正方形闭合金属导线框，其质量为m，回路电阻为R，图中M、N、P为磁场区域的边界，且均为水平，上下两部分磁场的磁感应强度均为B，方向如图所示． 图示位置线框的底边与M重合．现让线框由图示位置由静止开始下落，线框在穿过N和P两界面的过程中均为匀速运动．若已知M、N之间的高度差为h₁，h₁＞L，线框下落过程中线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，重力加速度为g．求：
（1）N与P之间的高度差h₂；
（2）在整个运动过程中，线框中产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）在穿过N和P的过程中，由E=BLv可得产生的感应电动势，由此可表示感应电流，求得线圈受到的安培力；
由于是匀速运动，故安培力等于重力，由此可得过N和P的速度；在全部进入NP到开始出P界面的过程中，穿过线圈的磁通量不变，只有重力做功，由机械能守恒可得N和P间的高度差．
（2）由能量守恒，可得穿过M时产生的电热；
在穿过N和P的过程中，重力和安培力相等，且位移相同，都是L，故可得这两个过程中安培力的功，即等于产生的热量．

解答：解：
（1）在穿过N的过程中，线框中产生的电动势：
E=2BLv₁
线框中产生的电流：
I=

E

R

=

2BLv1

R

线框受到的安培力：
F=2BIL=

4B2L2v1

R

由平衡得：
mg=

4B2L2v1

R

v1=

mgR

4B2L2

同理线框穿过P过程中的运动速度：
v2=

mgR

B2L2

由机械能守恒定律得：
mg(h2-L)=

1

2

mv22-

1

2

mv12
h2=L+(v22-v12)?

1

2g

解得：
h2=L+

15m2gR2

32B4L4

；
（2）由能量守恒，可得穿过M时产生的电热：
Q1=mgh1-

1

2

mv12=mgh1-

m3g2R2

32B4L4

穿过N和P时产生的电热都为：Q₂=mgL
共产生热量：
Q=Q₁+Q₂=2mgL+mgh1-

m3g2R2

32B4L4

答：
（1）N与P之间的高度差h2=L+

15m2gR2

32B4L4

（2）在整个运动过程中，线框中产生的焦耳热Q=2mgL+mgh1-

m3g2R2

32B4L4

．

点评：本题难点在于求NP的高度差，解决的突破口是线框在穿过N和P两界面的过程中均为匀速运动，这是题眼，其余是综合知识的应用，难度相对较大．