Question

9．火星的质量和半径分别约为地球的$\frac{1}{10}$和$\frac{1}{2}$，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为2：5，在火星表面运行的卫星与在地球表面运行的卫星线速度之比为$1：\sqrt{5}$，在火星表面运行的卫星与在地球表面运行的卫星向心加速度之比为2：5，在火星表面运行的卫星与在地球表面运行的卫星周期之比为$\sqrt{10}：2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力得出星球表面的重力加速度表达式，结合质量和半径之比求出重力加速度之比．根据万有引力提供向心力得出线速度、加速度、周期的表达式，结合天体质量和半径之比求出卫星的线速度、加速度、周期之比．

解答 解：根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，火星和地球的质量之比为1：10，半径和地球半径之比为1：2，则火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为2：5．
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=ma=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，
火星和地球的质量之比为1：10，半径和地球半径之比为1：2，则线速度之比为$1：\sqrt{5}$，向心加速度之比为2：5，周期之比为$\sqrt{10}：2\sqrt{2}$．
故答案为：2：5，$1：\sqrt{5}$，2：5，$\sqrt{10}：2\sqrt{2}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．