Question

如图，顶角为90°的“∨”型光滑金属导轨MON固定在倾角为θ的绝缘斜面上，M、N连线平行于斜面底端，导轨MO、NO的长度相等，M、N两点间的距离L=2m，整个装置处于磁感应强度大小B=0.5T、方向垂直于斜面向下的匀强磁场中．一根质量m=0.4kg，粗细均匀、单位长度电阻值r=0.5Ω/m的导体棒ab，受到平行于斜面向上且垂直于ab的变力F作用，以速度v=2m/s沿导轨向下匀速滑动，导体棒在运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，从导体棒在MN时开始计时，
（1）t=0时，F=0，求斜面倾角θ；
（2）求0.2s内通过导体棒的电荷量q；
（3）求导体棒通过整个金属导轨的过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

【答案】分析：（1）导体棒切割磁感线产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律可求出安培力大小，再根据受力平衡条件来确定斜面倾角；
（2）根据上述发现，感应电流大小与导体长度无关，则电流恒定，因而由电量表达式结合时间即可求解；
（3）当导体棒匀速运动，由有效长度可列出安培力大小关于向下运动位移的表达式，根据安培力与位移成线性关系，可利用安培力平均值来求出产生焦耳热．
解答：解：（1）导体棒开始运动时，回路中产生的感应电动势E=BLv  
感应电流 
安培力F_安=BIL                                 
由平衡条件得：mgsinθ=F_安+F 
因，F=0
联立上式得：θ=30                              
（2）感应电流 与导体棒切割的有效长度l无关
感应电流大小A                          
故0.2s内通过导体棒的电荷量q=It=0.4C        
（3）设导体棒经t时间沿导轨匀速向下运动的位移为x，
则t时刻导体棒切割的有效长度L_x=L-2x            
导体棒在导轨上运动时所受的安培力
因安培力的大小F_安与位移x成线性关系，故通过导轨过程中导体棒所受安培力的平均值=1N
产生的焦耳热Q=
答：（1）t=0时，F=0，求斜面倾角30°；
（2）求0.2s内通过导体棒的电荷量0.4C；
（3）求导体棒通过整个金属导轨的过程中产生的焦耳热1J．
点评：考查法拉第电磁感应定律，闭合电路欧姆定律，共点力平衡条件及安培力表达式．本题突破口：产生感应电流与导体棒有效长度无关，同时巧用安培力与位移成线性关系，由安培力平均值来求焦耳热．
第三小问另一种解法：设导体棒经t时间沿导轨匀速向下运动的位移为x，则t时刻导体棒切割的有效长度L_x=L-2x        
导体棒在导轨上运动时所受的安培力
作出安培力大小随位移x变化的图象
图象与坐标轴围成面积表示导体棒克服安培力作功，也为产生的焦耳热
所以，产生的焦耳热Q=1 J