Question

（2004?淮安二模）在光滑水平面上有两个质量都是0.5kg的小球（半径可忽略）A和B，假设两球之间的作用力有下面的特点：当两球心间的距离大于2m时，两球间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于2m并大于1m时，两球间存在大小等于6N的相互作用的恒定斥力；当两球心间的距离等于或小于1m时，两球间存在大小等于8N的相互作用的恒定斥力．现在A球从远离B球处以8m/s的速度沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图所示．
求：（1）A球和B球的最终速度．
（2）两球心间的最小距离．

Answer 1

分析：（1）对于AB系统，由动量守恒定律和机械能守恒列出等式求解
（2）A球向B球接近至A、B间的距离小于L之后，A球的速度逐步减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离逐步减小．当A、B两球的速度相等时，两球间的距离最小．若此距离大于2 r，则两球就不会接触．结合牛顿第二定律和运动学公式求出v₀必须满足的条件．

解答：解：（1）由动量守恒定律和机械能守恒，有m₁V=m₁V₁+m₂V₂

1

2

m₁V²=

1

2

m₁

v

2 1

+

1

2

m₂

v

2 2

又m₁=m₂
解得V₁=0，V₂=V=8m/s．
（2）当两小球距离最近时二者速度相等，设为V₃
由动量守恒有m₁V=m₁V₃+m₂V₃；
又m₁=m₂所以V₃=

1

2

V=4m/s
系统减小的动能为

1

2

m₁V²-

1

2

m₁

v

2 3

-

1

2

m₂

v

2 3

=8J
系统减小的动能用来克服两小球之间的斥力做功．
设两小球从开始相斥到速度变为相等接近的距离为S．
两小球距离从2米接近到1米时克服斥力做功为：w₁=6N×1m=6J，
斥力变为8N后接近的距离为（S-1m），
由8J-6J=8N×（S-1m）
解得S=1.25m．
所以两球心间的最小距离为2m-1.25m=0.75m．答：（1）A球和B球的最终速度分别是0，8m/s．
（2）两球心间的最小距离是0.75m．

点评：解决本题的关键知道两球速度相等时，有最短距离，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．