Question

12．如图所示，在水平向右的匀强电场中固定有一绝缘轨道，此轨道由水平轨道和与水平轨道相切与B点的竖直半圆轨道组成．水平轨道上A点与B点间的距离为L，半径OC与竖直半径OB的夹角为37°现一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点）由A点无初速度释放，运动到B点后沿半圆轨道内侧运动并恰好能从D点飞出．已知电场强度大小E=$\frac{2mg}{3q}$，其中g为重力加速度，A点的电势为零，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计一切摩擦．求：
（1）最高点D的电势φ_D以及小球到达B点时的速度大小v_B；
（2）小球通过C点时轨道受到的压力．（提示：小球在圆周运动过程中任一点，向心力公式都成立）

Answer 1

分析 （1）由U=EL求出AB间的电势差，得到AD间的电势差，即可求得最高点D的电势．由动能定理求B点的速度．
（2）由动能定理求出小球通过C点的速度，再由牛顿第二定律和向心力公式求解轨道对小球的支持力，从而得到压力．

解答 解：（1）AB间的电势差为 U_AB=EL
B、D两点的电势差相等，则AD间的电势差为 U_AD=U_AB=EL
A点的电势为零，则D的电势 φ_D=-U_AD=-EL
小球从A到B，由动能定理得
  qEL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又E=$\frac{2mg}{3q}$
解得 v_B=$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$
（2）从A到D的过程，由动能定理得：
  qEL-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点有 mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得 R=$\frac{4}{15}$L
从A到C的过程，由动能定理得：
  qE（L+R）-mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点有 N-mgcos37°-qEsin37°=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立解得 N=$\frac{56}{15}$mg
即得小球通过C点时轨道受到的压力为$\frac{56}{15}$mg．
答：
（1）最高点D的电势φ_D是-EL，小球到达B点时的速度大小v_B是$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$．
（2）小球通过C点时轨道受到的压力是$\frac{56}{15}$mg．

点评 本题的关键要分析清楚小球的运动过程，把握临界状态的条件：最高点由重力充当向心力．要知道：在C点，由指向圆心的合力提供向心力．