Question

如图甲所示，CDE是固定在绝缘水平面上的光滑金属导轨，CD=DE=L，∠CDE=60º，CD和DE单位长度的电阻均为r₀，导轨处于磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中。MN是绝缘水平面上的一根金属杆，其长度大于L，电阻可忽略不计。现MN在向右的水平拉力作用下以速度v₀在CDE上匀速滑行。MN在滑行的过程中始终与CDE接触良好，并且与C、E所确定的直线平行。

（1）求MN滑行到C、E两点时，C、D两点电势差的大小；

（2）推导MN在CDE上滑动过程中，回路中的感应电动势E与时间t的关系表达式；

（3）在运动学中我们学过：通过物体运动速度和时间的关系图线（v-t图）可以求出物体运动的位移x，如图乙中物体在0～t₀时间内的位移在数值上等于梯形Ov₀Pt₀的面积。通过类比我们可以知道：如果画出力与位移的关系图线（F-x图）也可以通过图线求出力对物体所做的功。

请你推导MN在CDE上滑动过程中，MN所受安培力F_安与MN的位移x的关系表达式，并用F_安与x的关系图线求出MN在CDE上整个滑行的过程中，MN和CDE构成的回路所产生的焦耳热。

Answer 1

解：（1）MN滑行到C、E两点时，在回路中的长度等于L

        此时回路中的感应电动势

                 

    由于MN的电阻忽略不计，CD和DE的电阻相等

所以C、D两点电势差的大小

                       4分

（2）设经过时间t运动到如图所示位置，

        此时杆在回路中的长度

             

    电动势

                                  6分

（3）在第（2）题图示位置时，回路中的电阻

             

    回路中的电流

              

    即回路中的电流为一常量。

    此时安培力的大小

            

   由于MN在CDE上滑动时的位移

            

   所以

            

   所以安培力的大小随位移变化的图线（F_安-x图）如图所示，

   所以MN在CDE上的整个滑行过程中，安培力所做的功

           

   根据能量的转化和守恒定律

   回路中产生的焦耳热Q等于安培力所做的功，即

                                              8分