Question

7．传送带在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用，例如在港口用传送带运输货物，在机场上用传送带将地面上的行李传送到飞机上等．如图所示的装置中，长度为L=4m的水平传送带顺时针转动，传送带d端与竖直光滑半圆形轨道相接，轨道半径为R=2m，忽略传送带d端与轨道最高点 c之间的缝隙宽度．将质量为m的物块A（可视为质点）轻放在传送带左端．物块经传送带滑上半圆形轨道，且沿半圆形轨道滑到与半圆形轨道平滑连接的光滑水平轨道ab上，与静止在ab上的质量为M的物块B发生弹性正碰，物块A与传送带之间的动摩擦因数μ=0.8，重力加速度g=10 m/s²．求：
（1）要使物块A不脱离半圆形轨道，传送带速度的最小值v；
（2）若传送带速度为v=10m/s，物块A与物块B第一次碰撞后能回到半圆形轨道上滑行时不脱离轨道，求物块A与物块B质量的比$\frac{m}{M}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要使物块A恰好不脱离半圆形轨道，在c点，由重力提供向心力，由此求得A点c点的最小速度．物块A在传送带上加速时，由牛顿第二定律求得加速度，根据速度位移公式求出加速的距离，与传送带的长度相比较，即可得到传送带速度的最小值v．
（2）物块A与物块B第一次碰撞后能回到半圆形轨道上滑行时不脱离轨道，有两种情况：一种A能返回c点，另一种是A返回时上升的最大高度不超过半圆的半径．先根据运动学公式求出A在传送带上加速获得的速度，由动能定理求得A滑到水平面上的速度，再由动量守恒和动能守恒列式，得到碰后A的速度，结合临界条件求解．

解答 解：（1）要使物块A不脱离轨道，则物块A在c点时的最小速度满足：
mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
解得：v_c=$\sqrt{gR}$=2$\sqrt{5}$m/s
物块A在传送带上运动的加速度为：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=8m/s²．
则加速的距离为：
x=$\frac{{v}_{c}^{2}}{2a}$=$\frac{20}{2×8}$=1.25m＜L
故传送带速度的最小值为：v=v_c=2$\sqrt{5}$m/s
（2）若物块A在传送带上一直加速，到达d端时的速度为：
v_d=$\sqrt{2aL}$=$\sqrt{2×8×4}$=8m/s
由于v_d＜v，故A到c点的速度为 v_d．
设物块A到达水平面时速度为v₀．由动能定理得：
2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{{v}_{d}^{2}+4gR}$
代入数据解得：v₀=12m/s
要使物块A碰撞后能回到半圆形轨道，则物块A碰后速度方向向右，设碰撞后A的速度大小为v₁．B的速度为v₂．
取向左为正方向，由动量守恒定律和动能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₁²．
要使物块不脱离轨道，则有：0＜v₁≤$\sqrt{2gR}$或v₁≥$\sqrt{4gR+{v}_{c}^{2}}$
联立解得：
$\frac{13}{23+6\sqrt{10}}$≤$\frac{m}{M}$＜1或$\frac{m}{M}$≤$\frac{1}{11}$
答：（1）要使物块A不脱离半圆形轨道，传送带速度的最小值v是2$\sqrt{5}$m/s．
（2）物块A与物块B质量的比$\frac{m}{M}$的取值范围是$\frac{13}{23+6\sqrt{10}}$≤$\frac{m}{M}$＜1或$\frac{m}{M}$≤$\frac{1}{11}$．

点评 解决本题的关键是搞清物块A的运动情况，抓住隐含的临界状态和临界条件．要知道弹性碰撞遵守动量守恒定律和机械能守恒定律．