Question

（2011?江苏）某种加速器的理想模型如图1所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压u_ab的变化图象如图2所示，电压的最大值为U₀、周期为T₀，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场．若将一质量为m₀、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T₀后恰能再次从a 孔进入电场加速．现该粒子的质量增加了

1

100

m0．（粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力）
（1）若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；
（2）现在利用一根长为L的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响），使图1中实线轨迹（圆心为O）上运动的粒子从a孔正下方相距L处的c孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管；
（3）若将电压u_ab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内a孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？

Answer 1

分析：（1）求第二次加速后从b孔射出时的动能只需知道加速时所对应的电压，故图2求电压即可．
（2）加入屏蔽管后粒子在屏蔽管中做匀速直线运动，离开屏蔽管后运动轨迹与原来的运动轨迹相似，只是向下平移了l．
（3）从图象可以看出，时间每改变△t=

T0

100

（图象中为1），电压改变为

2

25

U0（图象中为4），
所以图象中电压分别为50，46，42，38，…10，6，2，共13个，
设某时刻t，u=U₀时被加速，此时刻可表示为

T0

2

?N，静止开始加速的时刻t₁为t1=

T0

2

?N-n×

101T0

100

，其中n=12，将n=12代入得t1=

T0

2

?N-

1212T0

100

，因为t1＜

T0

2

，在u＞0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数：N=

T0 4

△T

，
所以只能取N=25，解得t1=

19

25

T0，由于电压的周期为

T0

2

，所以t=

T0

2

n+

19

25

T0（n=0，1，2，3…）
故粒子由静止开始被加速的时刻t=(

n

2

+

19

50

)T0（n=0，1，2，…）
故加速时的电压分别

23

25

U0，

21

25

U0，

19

25

U0…

5

25

U0，

3

25

U0，

1

25

U0，
加速电压做的总功，即动能的最大值，故粒子的最大动能 Ekm=2×(

1

25

+

3

25

+…

23

25

)qU0+qU0
解得 Ekm=

313

25

qU0．

解答：解：（1）质量为m₀的粒子在磁场中作匀速圆周运动Bqv=

mv2

r

，T0=

2πr

v

则T0=

2πm0

qB

当粒子的质量增加了

1

100

m₀，其周期增加△T=

1

100

T₀
根据题图2可知，粒子第一次的加速电压u₁=U₀
经过

101T0

100

第二次加速，第2次加速电压u₂，如图2
在三角形中，

u2

U0

=

T0 4 - T0 100

T0 4

=

24

25

，
所以粒子第二次的加速电压u2=

24

25

U0
粒子射出时的动能 E_k2=qu₁+qu₂
解得Ek2=

49

25

qU0
（2）因为磁屏蔽管使粒子匀速运动至以下L处，出管后仍然做圆周运动，可到C点水平射出．磁屏蔽管的位置如图1所示．粒子运动的轨迹如图3．
（3）如图4（用Excel作图）设T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期内的电压随时间变化的图象
从图象可以看出，时间每改变△t=

T0

100

（图象中为1），电压改变为

2

25

U0（图象中为4），
所以图象中电压分别为50，46，42，38，…10，6，2，共13个，
设某时刻t，u=U₀时被加速，此时刻可表示为

T0

2

?N，
静止开始加速的时刻t₁为t1=

T0

2

?N-n×

101T0

100

，其中n=12，将n=12代入得t1=

T0

2

?N-

1212T0

100

，
因为t1＜

T0

2

，在u＞0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数：N=

T0 4

△T

，得N=25．
所以只能取N=25，解得t1=

19

25

T0，由于电压的周期为

T0

2

，所以t=

T0

2

n+

19

25

T0（n=0，1，2，3…）
故粒子由静止开始被加速的时刻t=(

n

2

+

19

50

)T0（n=0，1，2，…）
故加速时的电压分别

23

25

U0，

21

25

U0，

19

25

U0…

5

25

U0，

3

25

U0，

1

25

U0，
加速电压做的总功，即动能的最大值，故粒子的最大动能 Ekm=2×(

1

25

+

3

25

+…

23

25

)qU0+qU0
解得 Ekm=

313

25

qU0．

点评：本题考查带电粒子在磁场中的圆周运动和在电场中的加速运动以及用数学解决物理问题的能力．关键是判断怎样才能得到最大动能即何时加速，加速电压多大．