Question

（20分）如图所示，在真空中有一个折射率为（，为真空的折射率）、半径为的质地均匀的小球。频率为的细激光束在真空中沿直线传播，直线与小球球心的距离为（），光束于小球体表面的点点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小。

Answer 1

解析：

在由直线与小球球心所确定的平面中，激光光束两次折射的光路，如图所示，图中入射光线与出射光线的延长线交于，按照光的折射定律有

                             （1）

式中与分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知

                               （2）

激光光束经两次折射，频率保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小和相等，即

                           （3）

式中为真空中的光速，为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量沿方向，射出小球的光束中光子的动量沿方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度，由图中几何关系可知

                                      （4）

若取线段的长度正比于光子动量，的长度正比于光子动量，则线段的长度正比于光子动量的改变量，由几何关系得

                          （5）

为等腰三角形，其底边上的高与平行，故光子动量的改变量的方向沿垂直的方向，且由指向球心．

光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即

                                       （6）

式中是光在小球内的传播速率。

按照牛顿第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小为

                                  （7）

按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小，即

                                      （8）

力的方向由点指向点．由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得

                            （9）

评分标准：本题20分

（1）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再给4分。