Question

如图，粗糙的水平面AB上的空间中存在场强分别为E₁的匀强电场及匀强磁场B，一带正电小球质量为m，所带电荷量为q，刚开始静止在A点，在电场力的作用下开始向右运动，到达B点时进入一埋入地下的半径为R的半圆形软管，且在转角B处无机械能损失，若小球到达B点时恰好对水平面的作用力为

1

2

mg，试求：
（1）小球到达B点时的速度大小是多少？
（2）若A、B间距离为S，则小球从A运动到B克服摩擦力做多少功？
（3）在软管的最低点E，软管对小球的作用力是多大？
（4）在CD平面上距离C点L处有一长为2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，试求CD上空的匀强电场E₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知，洛伦兹力、支持力与重力处于平衡，因此由洛伦兹力公式可求出速度大小；
（2）小球从A到B过程，由动能定理可求出小球从A运动到B克服摩擦力做的功；
（3）由小球机械能守恒定律与牛顿第二定律及向心力表达式，可求出软管对小球的作用力；
（4）小球从C点冲出后，将运动沿水平方向和竖直方向进行分解，根据分运动的时间相等，由运动学规律可求出匀强电场E₂的取值范围．

解答：解（1）由于小球到B点时受洛伦兹力、支持力和重力处于平衡，所以
qV_BB+N=mg    
又因为 N=

1

2

mg   
解之得：V_B=

mg

2qB

  
（2）小球从A到B运动过程中，只有摩擦力、电场力做功，由动能定理可得
E₁qS-W_f=

1

2

m

v

2 B

-0   
∴W_f=E₁qS-

m3g2

8q2B2

      
（3）由机械能守恒定律并取E点为零势能点，设软管对小球的作用力为F，可得

1

2

m

v

2 B

+mgR=

1

2

m

v

2 E

+0   　　
由牛顿第二定律：F-mg=

m v 2 E

R

　　　　　　
解得：F=

m3g2

4q2B2R

+3mg　　　　　
（4）小球从C点冲出后，在竖直方向上作初速度大小为V_y=

mg

2qB

的竖直上抛运动，水平方向上做匀加速直线运动，
所以，设在空中飞行的时间为t，
则由t=

2vB

g

可得
t=

m

qB

                     
水平方向上，a=

E2q

m

，
小球落到沙坑以外，则

1

2

at2＜L或

1

2

at2＞3L      
可得E₂的取值范围为：E₂＜

2LB2q

m

或　E₂＞

6LB2q

m

答：（1）小球到达B点时的速度大小是

mg

2qB

；
（2）若A、B间距离为S，则小球从A运动到B克服摩擦力做功qE1s-

m3g2

8q2B2

；
（3）在软管的最低点E，软管对小球的作用力是

m3g2

4q2B2R

+3mg；
（4）在CD平面上距离C点L处有一长为2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，试求CD上空的匀强电场E₂的取值范围为：E₂＜

2LB2q

m

或　E₂＞

6LB2q

m

．

点评：考查了动能定理、机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动学规律，同时涉及到洛伦兹力与速度的关系，将曲线运动的分解两方向的直线运动，本题属于力电综合题，难题，学生容易失分．