Question

18．如图所示，光滑水平面上有一平板车，车上固定一竖直直杆，杆的最高点O通过一长为L的轻绳拴接一个可视为质点的小球，小球的质量与小车质量相等，悬点距离地面的高度为3L，轻绳水平时，小球与小车速度均为零．释放小球，当小球运动到最低点时，轻绳断开，重力加速度为g．（小球在运动过程中与竖直直杆和小车不相撞）求：
（1）轻绳断开的瞬间，小球的速度大小；
（2）小球从释放到落地的过程中，小车向右移动的距离．

Answer 1

分析 （1）小球在向下运动的过程中，小球与车组成的系统水平方向动量守恒，系统机械能也守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律列式，可求得小球的速度；
（2）对小球和小车系统根据平均动量守恒定律可确定位移关系，由竖直方向的自由落体规律可确定小时间，则可求得小车向右移动的距离．

解答 解：（1）小球下落过程中，小球与车组成的系统，水平方向动量守恒，系统机械能守恒，设小球到最低点时的速率为v₁，小车的速率为v₂，
设小球的速度方向为正方向，则由动量守恒定律和机械能守恒定律可得：
  mv₁-mv₂=0
mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=$\sqrt{gL}$，v₂=$\sqrt{gL}$
故知小球在最低点的速度 v₁=$\sqrt{gL}$；
（2）小球下落的过程中，设车向右移动的距离为x₂，小球向左移动的距离为x₁，则有：
  mx₁=mx₂
且x₁+x₂=L                                         
联立解得：x₂=$\frac{L}{2}$；
轻绳断开后，设小球从最低点到落到地面经历的时间为t，
则有 2L=$\frac{1}{2}$gt²                                       
从绳断到小球落地，车向右运动的距离为 x₂′=v₂t
联立解得  x₂′=2L     
所以，小车向右总位移为 x=x₂+x₂′=2.5L
答：
（1）小球运动到最低点时速度大小为$\sqrt{gL}$；
（2）小球从释放到落地的过程中，小车向右移动的距离为2.5L．

点评 本题是动量守恒定律和机械能守恒定律的综合应用，在解题时要注意明确动量守恒的条件，同时注意分析过程，明确物理规律的应用．要注意小球下摆过程中，系统的总动量并不守恒，只有水平方向动量守恒．