Question

18．如图所示，斜面直轨道是粗糙的，大、小圆轨道光滑且均与斜面直轨道相切，其中小圆轨道半径为R，切点分别为C、B，圆形轨道的出入口错开，大、小圆轨道的最高点跟斜面的最高点在同一水平线上，斜面直轨道的倾角为60°．今有一质量为m的小球自A以初速度v₀沿斜面滑下，运动到B后进入小圆形轨道，接着再沿斜面下滑进入大圆形轨道运动，小球与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，求：
（1）若小球恰能到达大圆轨道的最高点，求v₀的值．
（2）在v₀满足（1）的前提条件下，求小球在小圆轨道的最高点时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出大圆的半径，根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，通过动能定理求出初速度应满足的条件．
（2）根据动能定理求出小球在小圆轨道最高点的速度，从而根据牛顿第二定律求出弹力的大小．

解答 解：（1）设C处圆形轨道的半径为R′，则由几何关系可知，A到B处圆轨圆心的距离为：
AO₁=$\frac{R}{sin30°}$=2R，
而且 $\frac{R′}{3R+R′}$=sin30°，
解得：R′=3R，
斜面轨道AB=Rcot30°=$\sqrt{3}$R=S₁…①
AC=3Rcot30°=3$\sqrt{3}$R=S₂…②
小球由A到C处圆形轨道的最高点的过程由动能定理有：
-μmgcos60°•S₂=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²…③
由于小球恰能到达C处圆轨道的最高点，故v=$\sqrt{gR′}$=$\sqrt{3gR}$…④
联立①②③④解得：v₀=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$…⑤
（2）设小球到达B处圆形轨道的最高点的速度为v₁，
小球由A到B处圆形轨道最高点的过程，由动能定理有：
-μmgcos60°•S₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑥
设小球在B处圆形轨道最高点受轨道压力为F_N，
由牛顿第二定律可知，F_N+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…⑦
联立①⑤⑥⑦解得：F_N=3mg．
答：（1）小球恰能到达大圆轨道的最高点，则v₀应满足大于或等于$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$；
（2）小球在小圆轨道的最高点时受到的轨道的弹力大小是3mg．

点评 本题考查了圆周运动和动能定理、牛顿第二定律的综合，知道圆周运动向心力的来源是解决本题的关键，本题对数学几何能力的要求较高，需加强训练．