Question

如图，C₁D₁E₁F₁和C₂D₂E₂F₂是距离为L的相同光滑导轨，C₁D₁和E₁F₁为两段四分之一圆弧，半径分别为r₁=8r和r₂=r．在水平矩形D₁E₁E₂D₂内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．导体棒P、Q的长度均为L，质量均为m，电阻均为R，其余电阻不计，Q停在图中位置，现将P从轨道最高点无初速释放，则
（1）求导体棒P进入磁场瞬间，回路中的电流的大小和方向（顺时针或逆时针）；
（2）若P、Q不会在轨道上发生碰撞，棒Q到达E₁E₂瞬间，恰能脱离轨道飞出，求导体棒P离开轨道瞬间的速度；
（3）若P、Q不会在轨道上发生碰撞，且两者到达E₁E₂瞬间，均能脱离轨道飞出，求回路中产生热量的范围．

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出求导体棒P到达D₁D₂的速度大小，然后根据法拉第电磁感应定律即可求解；
（2）恰好脱了轨道的条件是重力提供向心力，两棒作用过程中动量守恒，由此可正确解答；
（3）根据题意求出临界条件结合动量守恒和功能关系即可正确求解．

解答：解：（1）导体棒P由C₁C₂下滑到D₁D₂，根据机械能守恒定律：
mgr1=

1

2

m

v

2 D

，vD=4

gr

求导体棒P到达D₁D₂瞬间：
E=BLv_D
回路中的电流：I=

E

2R

=

2BL gr

R

（2）棒Q到达E₁E₂瞬间，恰能脱离轨道飞出，此时对Q：
mg=

m v 2 Q

r2

vQ=

gr

设导体棒P离开轨道瞬间的速度为，根据动量守恒定律：
mv_D=mv_P+mv_Q
代入数据得：v_P=3

gr

．
（3）由（2）若导体棒Q恰能在到达E₁E₂瞬间飞离轨道，P也必能在该处飞离轨道
根据能量守恒，回路中产生的热量
Q1=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 P

-

1

2

m

v

2 Q

=3mgr
若导体棒Q与P能达到共速v，则根据动量守恒：
mv_D=（m+m）v
v=2

gr

回路中产生的热量Q2=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

(m+m)

v

2

=4mgr
答：（1）回路中的电流的大小为

2BL gr

R

，方向逆时针方向．
（2）导体棒P离开轨道瞬间的速度：v_P=3

gr

．
（3）综上所述，回路中产生热量的范围是3mgr≤Q≤4mgr．

点评：是电磁感应与电路、磁场、力学、功能关系，临界条件等知识的综合应用，重点考察了功能关系以及动量守恒定律的应用，是考查分析和处理综合题的能力的好题．