Question

从地面上以初速度v₀竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t₁时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v₁，且落地前球已经做匀速运动．求：



（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；
（2）球抛出瞬间的加速度大小；
（3）球上升的最大高度H．

Answer 1

（1）由动能定理得
Wf=

1

2

mv12-

1

2

mv02
克服空气阻力做功
W=-Wf=

1

2

mv02-

1

2

mv12
（2）空气阻力f=kv
落地前匀速运动，则mg-kv₁=0
刚抛出时加速度大小为a₀，则
mg+kv₀=ma₀
解得a0=(1+

v0

v1

)g
（3）上升时加速度为a，-（mg+kv）=ma
a=-g-

k

m

v
取极短△t时间，速度变化△v，有：
△v=a△t=-g△t-

k

m

v△t
又v△t=△h
上升全程∑△v=0-v0=-g∑△t-

k

m

∑△h
则v0=gt1+

k

m

H
H=

(v0-gt1)v1

g

答：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功为

1

2

mv02-

1

2

mv12；
（2）球抛出瞬间的加速度大小为(1+

v0

v1

)g；
（3）球上升的最大高度H为

(v0-gt1)v1

g

．