Question

如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°．一长为L的轻绳一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体．物体以速度v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动．（结果可保留根式）
（1）当v1=

1 6 gL

时，求绳对物体的拉力；
（2）当v2=

3 2 gL

时，求绳对物体的拉力．

Answer 1

分析：求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答：解：当物体离开锥面时：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=

mv2

R

，R=Lsinθ
解得v=

3 gl 6

．
（1）v₁＜v时，有T1sinθ-N1cosθ=

mv12

R

，T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得T1=

3 3 +1

6

mg．
故当v1=

1 6 gL

时，求绳对物体的拉力T1=

3 3 +1

6

mg．
（2）v₂＞v时，球离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，
则T₂cosα-mg=0
T2sinα=

mv22

R2

R₂=Lsinα
解得T₂=2mg．
故当v2=

3 2 gL

时，求绳对物体的拉力T₂=2mg．

点评：解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解．