Question

19．如图所示，与纸平面平行的两相同光滑金属圆形导轨，半径为r，导轨间距为d，导轨电阻不计，两环圆心连线水平且垂直于纸平面，圆环最低点a、b间用导线连接一阻值为R的电阻．一磁感应强度大小为B、方向水平向右且与导轨圆心的连线垂直、区域足够大的匀强磁场．圆环导轨内侧有一处于导轨最低点与导轨接触良好的均匀金属棒，金属棒电阻不计，质量为m，长度略大于d．在外力作用下使金属棒由初始位置以速率v沿轨道逆时针方向做匀速圆周运动（重力加速度g）．求：
（1）金属棒在与圆心等高的位置时电阻R中电流的大小；
（2）金属棒由最低位置第一次运动至最高位置过程中，流过电阻R的电量；
（3）金属棒从最低位置第一次运动至最高位置过程中，已知电阻中电流随时间变化的关系为i=$\frac{Bdv}{R}$sin$\frac{v}{r}$t，则该过程中外力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）金属棒在与圆心等高的位置时金属棒的速度的方向与磁场垂直，由E=BLv即可求出感应电动势，然后由闭合电路的欧姆定律即可求出电阻R中电流的大小；
（2）金属棒由最低位置第一次运动至最高位置过程中，由平均电动势：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$求出平均电动势，由I=$\frac{q}{t}$即可求出流过电阻R的电量；
（3）金属棒从最低位置第一次运动至最高位置过程中感应电流随时间做正弦式的变化，结合交流电的有效值的表达式即可求出外力做的功．，

解答 解：（1）金属棒在与圆心等高的位置时金属棒的速度的方向与磁场垂直，由电动势的表达式得：E=Bdv
由闭合电路的欧姆定律得：$I=\frac{E}{R}=\frac{Bdv}{R}$ 看求出电阻R中电流的大小；
（2）金属棒由最低位置第一次运动至最高位置过程中，电路中的平均电动势：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•d•2r}{△t}$，
电路中的平均电流：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，
由$\overline{I}$=$\frac{q}{t}$得：
流过电阻R的电量：q=$\overline{I}•△t$=$\frac{2Bdr}{R}$
（3）金属棒从最低位置第一次运动至最高位置过程中感应电流随时间做正弦式的变化，由电阻中电流随时间变化的关系为i=$\frac{Bdv}{R}$sin$\frac{v}{r}$t可知，电路中的最大电流为$\frac{Bdv}{R}$
所以电流的有效值：${I}_{有效}=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}Bdv}{2R}$
金属棒到达最高点的时间：$t=\frac{πr}{v}$
所以在电阻R上消耗的电能：Q=${I}_{有效}^{2}•R•t$=$\frac{π{B}^{2}{d}^{2}vr}{2R}$
由功能关系可知，外力做的功转化为金属棒的重力势能与R上消耗的电能，所以：W=mg•2r+Q=$2mgr+\frac{π{B}^{2}{d}^{2}vr}{2R}$
答：（1）金属棒在与圆心等高的位置时电阻R中电流的大小是$\frac{Bdv}{R}$；
（2）金属棒由最低位置第一次运动至最高位置过程中，流过电阻R的电量是$\frac{2Bdr}{R}$；
（3）金属棒从最低位置第一次运动至最高位置过程中，该过程中外力做功$2mgr+\frac{π{B}^{2}{d}^{2}vr}{2R}$．

点评 本题是电磁感应和电路知识的综合，解答的关键是运用导体棒切割磁感线产生的电动势计算通过电阻R的电量时，要使用平均电动势．