Question

如图所示，粗糙水平地面与半径为R=0.5m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上．质量为m=1kg的小物块在水平恒力F=15N的作用下，由静止开始从A点开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去F，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D点，已知AB间的距离为3m，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小物块运动到B点时的速度；
（2）小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离；
（3）小物块在水平面上从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）因为小物块恰好能通过D点，所以在D点小物块所受重力等于向心力，由牛顿第二定律求出小物块通过D点的速度．物块由B点运动到D点的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律列式即可求解物块运动到B点时的速度；
（2）小物块离开D点做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式求解落到水平地面上的点与B点之间的距离；
（3）从A运动到B的过程中，根据动能定理求解克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）因为小物块恰能通过D点，所以在D点小物块所受重力等于向心力，即
  mg=m

v 2 D

R

小物块由B运动D的过程中机械能守恒，则有
 

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 D

+2mgR     
所以 v_B=

5gR

=

5×10×0.5

m/s=5m/s．
（2）设小物块落地点距B点之间的距离为x，下落时间为t，根据平抛运动的规律：
   x=v_Dt，
  2R=

1

2

gt2          
解得：x=1m；     
（3）小物块在水平面上从A运动到B过程中根据动能定理，有
  Fx_AB-W_f=

1

2

m

v

2 B

         
解得：W_f=Fx_AB-

1

2

m

v

2 B

=15×3-

1

2

×1×52=32.5（J）
答：
（1）小物块运动到B点时的速度为5m/s；
（2）小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离为1m；
（3）小物块在水平面上从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功为32.5J．

点评：本题是动能定理、牛顿第二定律和平抛运动规律的综合应用，关键是确定运动过程，分析运动规律．