Question

9．人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T，引力常量G，求：
（1）该行星的质量
（2）若探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T₁，则行星平均密度为多少？（用T₁和常数表达）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体的质量M；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体质量M，再根据密度公式求得行星的平均速度．

解答 解：（1）根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得该行星的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）近星表面飞行时的周期为T₁，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得行星质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$
又根据密度公式知行星质量为：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以行星的密度为：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{1}^{2}}$
答：（1）该行星的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若探测器靠近行星表面飞行时，测得运行周期为T₁，则行星平均密度为$\frac{3π}{G{T}_{1}^{2}}$．

点评 万有引力提供圆周运动向心力是解决本题的突破口，关键是掌握万有引力公式和向心力公式．