Question

（2010?泰州模拟）在坐标系xOy平面的第一象限内，有一个匀强磁场，磁感应强度大小恒为B₀，方向垂直于xOy平面，且随时间作周期性变化，如图所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正．一个质量为m，电荷量为q的正粒子，在t=0时刻从坐标原点以初速度v₀沿x轴正方向射入，不计重力的影响，经过一个磁场变化周期T（未确定）的时间，粒子到达第Ⅰ象限内的某点P，且速度方向仍与x轴正方向平行同向．则
（1）粒子进入磁场后做圆周运动的半径是多大？
（2）若O、P连线与x轴之间的夹角为45°，则磁场变化的周期T为多大？
（3）因P点的位置随着磁场周期的变化而变化，试求P点的纵坐标的最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子圆周运动的半径．
（2）若O、P连线与x轴之间的夹角为45°，粒子在磁场变化的前后半个周期T内速度的偏向角都是90°，运动时间都是粒子圆周运动周期的

1

4

，求出粒子圆周运动的周期，再求解磁场变化的周期T．
（3）根据几何知识求出P点横坐标和纵坐标与粒子圆周运动半径的关系．根据粒子在第一象限运动的条件求解P点的纵坐标的最大值．

解答：解：
（1）粒子进入磁场后做圆周运动的轨道半径为r，根据牛顿第二定律得
       qv0B=m

v02

r

∴r=

mv0

qB

=4×10-3m
（2）O、P连线与x轴之间的夹角为45°，由运动的对称性，粒子经两个四分之一圆弧到达P点，设圆周运动周期为T₀，由T₀=

2πr

v0

，得T₀=

2πm

qB

∴T=

T0

2

=

πm

qB

（3）设两段圆弧的圆心OO的连线与y轴夹角为θ，P点的纵坐标为y，圆心O到y轴之间的距离为x，则由几何关系，得
  y=2r+2rcosθ
  sinθ=

x

2r

保证粒子在第一象限内运动，x≥r
当θ=30⁰时，y取最大，
y_m=（2+

3

）r=

mv0

qB

=4×10-3
答：
（1）粒子进入磁场后做圆周运动的半径是4×10^-3m．
（2）若O、P连线与x轴之间的夹角为45°，磁场变化的周期T=

πm

qB

．
（3）P点的纵坐标的最大值为4×10^-3m．

点评：本题是带电粒子在交变磁场中运动的问题，画出粒子运动的轨迹，根据几何知识求解半径是关键．