Question

如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限的正方形abcd区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正方形边长为L且ad边与x轴重合，ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P（0，h）点，以大小为v₀的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a（2h，0）点进入第Ⅳ象限的磁场区域，不计粒子所受的重力．求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子到达a点时速度的大小和方向；
（3）磁感应强度B满足什么条件，粒子经过磁场后能到达y轴上，且速度与y轴负方向成45°角？
（4）磁感应强度B满足什么条件，粒子经过磁场后不能到达y轴上？

Answer 1

分析：（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移和竖直位移均已知，由牛顿第二定律和运动学公式，运用运动的分解法可求出场强大小E．
（2）由速度的合成法求出粒子到达a点时速度大小和方向，由几何知识确定粒子经过a点时的方向．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动．粒子经过磁场后要能到达y轴上，且速度与y轴负方向成45°角，必须从ab边上射出磁场，从b点射出磁场时轨迹半径最大，对应的B最小，画出轨迹，根据几何关系求出轨迹半径，再由牛顿第二定律求出B的值．
（4）粒子经过磁场后恰好不能到达y轴上时，应从bc边上垂直射出磁场，画出轨迹，根据几何关系求出轨迹半径，再由牛顿第二定律求出B的值．

解答：解：（1）粒子在第一象限内做类平抛运动，设在第一象限内运动的时间为t₁，则
水平方向有：2h=v₀t₁…①
竖直方向有：h=

1

2

?

qE

m

t

2 1

…②
由①②式联立得：E=

m v 2 0

2qh

…③
（2）设粒子到达a点时竖直方向的分速度为v_y
则有：v_y=at₁=

qE

m

t₁…④．
由①③④联立得：v_y=v₀
所以粒子到达a点时速度大小为：
v_a=

v 2 x + v 2 y

=

v 2 0 + v 2 0

=

2

v₀   ①
与x轴的夹角为θ，由几何关系得：
tanθ=

vy

vx

=

v0

v0

=1，
所以有：θ=45°
（3）从粒子在磁场中做匀速圆周运动．粒子经过磁场后要能到达y轴上，且速度与y轴负方向成45°角，必须从ab边上射出磁场，从b点射出磁场时轨迹半径最大，对应的B最小，画出轨迹，如图所示．
设粒子从b点射出时轨迹半径为r₁，根据几何关系得：r₁=

2

2

L
再由牛顿第二定律得：qv_aB=m

v 2 a

r1

，得 B=

2mv0

qL

所以磁感应强度B满足的条件是：B≥

2mv0

qL

．
（4）粒子经过磁场后恰好不能到达y轴上时，应从bc边上垂直射出磁场，画出轨迹，根据几何关系得：轨迹半径为：r₂=

2

L．
由牛顿第二定律得：qv_aB′=m

v 2 a

r2

，
得：B′=

mv0

qL

所以磁感应强度B满足的条件是：B′≤

mv0

qL

．
答：（1）电场强度E的大小为

m v 2 0

2qh

；
（2）粒子到达a点时速度的大小为

2

v₀，方向与x轴的夹角为45°；
（3）磁感应强度B满足B≥

2mv0

qL

，粒子经过磁场后能到达y轴上，且速度与y轴负方向成45°角．
（4）磁感应强度B满足B≤

mv0

qL

．，粒子经过磁场后不能到达y轴上．

点评：带电粒子在电磁场中的运动要注意分析过程，并结合各过程中涉及到的运动规律采用合理的物理规律求解．