Question

美国航空航天局和欧洲航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器，在美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族．质量为m的“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，先在半径为R的圆形轨道Ⅰ上绕土星飞行，运行速度大小为υ₁．为了进一步探测土星表面的情况，当探测器运行到A点时发动机向前喷出质量为△m的气体，探测器速度大小减为υ₂，进入一个椭圆轨道Ⅱ，运行到B点时再一次改变速度，然后进入离土星更近的半径为r的圆轨道Ⅲ，如图所示．设探测器仅受到土星的万有引力，不考虑土星的卫星对探测器的影响，探测器在A点喷出的气体速度大小为u．求：
（1）探测器在轨道Ⅲ上的运行速率υ₃和加速度的大小．
（2）探测器在A点喷出的气体质量△m．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力G

Mm

R2

=m

v12

R

，G

Mm′

r2

=m′

v32

r

 求出轨道Ⅲ上的线速度．根据G

Mm′

r2

=m′a求出轨道Ⅲ上的加速度．
（2）根据动量守恒定律mυ₁=（m-△m）υ₂+△mu求出探测器在A点喷出的气体质量△m．

解答：解：（1）在轨道I上，探测器所受万有引力提供向心力，设土星质量为M，则有
G

Mm

R2

=m

v12

R

              ①
同理，在轨道Ⅲ上有
G

Mm′

r2

=m′

v32

r

         ②
由式①②可得            υ₃=

R r

υ₁              ③
探测器在轨道Ⅲ上运行时加速度设为a，则有
G

Mm′

r2

=m′a    ④
由式①④可得            a=

v12R

r2

             
故探测器在轨道Ⅲ上的运行速率υ₃和加速度的大小分别为υ₃=

R r

υ₁，a=

v12R

r2

．
（2）探测器在A点喷出气体前后，由动量守恒得
    
△m=

mv1-mv2

u-v2

    
故探测器在A点喷出的气体质量△m为

mv1-mv2

u-v2

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v 2

r

=ma，以及掌握动量守恒定律．