Question

长为L的细杆，一端连接在光滑的水平轴上，另一端固定一个质量为m的小球，小球可在竖直面内做圆周运动，设小球经过最低点和最高点时速率分别为v₁和v₂，求小球经过最高点和最低点时杆对球的作用力．

Answer 1

答案：
解析：

解析：小球在最低点时，圆心恰在小球正上方，所以小球所需的向心力（即小球所受到的合外力）的方向应竖直向上，但由于重力方向总是竖直向下的，所以，杆一定竖直向上拉小球． 设拉力为T，则有：T－mg＝ T＝mg＋m 可见，此时杆只能对小球提供不为零的拉力而不会是推力，并且拉力除了克服小球的重力外，还要提供小球做圆周运动所需的向心力，因此，杆的拉力必须比小球在此位置静止时的重力大，而且速率越大提供的拉力也越大． 小球在最高点时，假设杆对球的作用力T方向向上，则有mg－T′＝m 讨论： （1）若0＜v2＜，则mg＞T′＞0． 这表明杆对小球有支持力（即上面的假设），并且支持力T′小于小球的重力mg，此时重力的一部分提供向心力，其余部分被T′平衡掉，就T′＜mg来说，这也是人们要修造拱形桥的力学原因． 从另一个角度看，如果连接小球的是一个不能施加向上支持力的约束物（例如将杆换成绳或让小球沿竖直面内的轨道内侧运动），小球将无法在竖直面内做圆周运动，事实上它将在最高点之前的某一位置离开圆轨迹而开始做抛体运动． （2）若v2＞，则T′＜0． 这表明杆对小球有拉力（与解答中的假设相反），如果连接小球的是一个不能施加向下拉力的约束物（例如小球沿竖直面内的轨道外侧运动或汽车行驶到拱形桥的最高点时），小球将做离心运动，从而离开原来的轨道，因为只靠小球的重力维持最高点时的圆周运动已无法实现，此时需要的向心力大于小球的重力． （3）若v2＝，则T′＝0． 这表明杆对小球无作用力，此时小球所需的向心力恰好等于其自身的重力． 综合上面的讨论不难想到：若联系小球的约束物对小球只能提供向下的拉力时，那么，是小球能在竖直面内做圆周运动通过最高点时的最小速率；若联系小球的约束物对小球只能提供向上的支持力，那么，是小球能在竖直面内做圆周运动通过最高点时的最大速率；若小球在竖直面内做圆周运动通过最高点时无约束物的作用力，那么，是小球通过最高点而做圆周运动的唯一速率．

提示：