Question

（2013?保定一模）如图所示，用折射率为

2

的透明物质做成内、外半径分别为r_a=0.10m、r_b=0，20m）的空心球，内表面涂上能完全吸光的物质，不考虑光在介 质内部传播时的反射光线．问：
（i）当一束平行光射向此球时，有一部分光被吸光物质吸收掉，求平行入射光束中的这部分光的横截面积？
（ii）增大涂有吸光物质的内表面的半径，使得进入此球的光全部被吸光物质吸收，则内表面的半径应该变为多大？

Answer 1

分析：（i）作出经第一次折射后与空心球内壳相切的光线，由几何知识求出折射角的正弦，根据折射定律，求出入射角的正弦，由几何知识求出此平行光束在入射前的横截面积．平行入射光束中的这部分光的横截面积．
（ii）当内径增大后，射向该球的上方边界光线折射后与内圆相切的光线A′B′，作出光路图，根据几何知识分析和求解内表面的半径应该变为多大．

解答：解：（i）不被内球吸收的边界光线是与内圆相切的光线AB，如图，
被吸收掉的光束面积为：S=πR²
根据折射定理得：n=

sini

sinr

根据几何关系得：
R=r_bsini
r_a=r_bsinr
联立解得：S=πn²r_a²=6.28×10²m²
（ii）当内径增大后，射向该球的上方边界光线折射后与内圆相切的光线A′B′，如图．
根据折射定理得：n=

sini′

sinC

其中i′=90°
根据几何关系得：
r_a′=r_bsinC
联立解得：r_a′=

rb

n

=

0.2

2

=

2

10

m=0.1414m
答：（i）平行入射光束中的这部分 光的横截面积为6.28×10²m²．
（ii）增大涂有吸光物质的内表面的半径，使得进入此球的光全部被吸光物质吸收，则内表面的半径应该变为0.1414m．

点评：解决本题的关键作出临界光线，根据光路图，通过折射定律和几何关系进行求解．