Question

10．如图所示，质量M，长L的匀质木板放在光滑水平面上，板的左端有一个质量为m的小物体，现用外力作用在m上，使m以恒定的速率v水平向前运动，物体最多只能到达板的中点，求
（1）物体刚到达板的中点时，板移动的距离；
（2）若板与桌面间有摩擦，为使物体能够到板的右端，板和桌面间的动摩擦因数是多大？

Answer 1

分析 （1）由题可知，m与M之间一定存在摩擦力，木板M受到不变的摩擦力的作用，做匀加速直线运动，物体m做匀速直线运动，结合匀速直线运动的位移公式与匀加速直线运动的位移公式，即可求出木板运动的位移；
（2）木板M做匀加速直线运动，由位移公式，求出木板的加速度，然后结合牛顿第二定律，先求出木板与物体之间的摩擦因数；
当地面粗糙时，对木板进行受力分析，并结合牛顿第二定律求出地面粗糙时木板的加速度，然后结合位移公式，以及木板的位移与物体的位移之间的关系，列出相应的表达式，即可求解．

解答 解：（1）由题可知，木板M做匀加速直线运动，物体m做匀速直线运动，设运动的时间为t，木板的位移为x₁，物体的位移为x₂，则有：
${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{1}{2}L$…①
木板的位移为：…②
物体的位移为：x₂=vt…③
联立①②③得：${x}_{1}=\frac{1}{2}L$，$t=\frac{L}{v}$…④
（2）地面光滑时，木板M做匀加速直线运动，有：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$…⑤
联立④⑤得：${a}_{1}=\frac{{v}^{2}}{L}$
设木板与物体之间的动摩擦因数为μ₁，又：Ma₁=μ₁mg
所以：${μ}_{1}=\frac{M{a}_{1}}{mg}=\frac{M{v}^{2}}{mgL}$…⑥
设木板与地面之间的动摩擦因数为μ₂，则木板受到的地面的摩擦力：f₂=μ₂（m+M）g…⑦
木板是加速度a₂：Ma₂=μ₁mg-f₂…⑧
设物体运动到木板的右侧的时间是t′，物块恰好运动至木板的右侧，则：a₂t′=v
木板的位移：${x}_{3}=\frac{v}{2}•t′$
物体的位移：x₄=vt′
又：x₄-x₃=L
联立以上三式得：$t′=\frac{2L}{v}=2t$
所以：${a}_{2}=\frac{v}{t′}=\frac{v}{2t}=\frac{{v}^{2}}{2L}=\frac{1}{2}{a}_{1}$…⑨
联立⑥⑦⑧⑨，解得：μ₂=$\frac{M{v}^{2}}{2（M+m）gL}$
答：（1）物体刚到达板的中点时，板移动的距离是$\frac{1}{2}$L；
（2）若板与桌面间有摩擦，为使物体能够到板的右端，板和桌面间的动摩擦因数是$\frac{M{v}^{2}}{2（M+m）gL}$．

点评 该题中．由于物体与木板之间的摩擦因数是未知量，所以在计算的过程中，向表达式物体与木板之间的动摩擦因数，以及两种情况下木板的加速度的关系，就是解答该题的关键．