Question

有一倾角为θ的斜面，其底端固定一挡板M，另有三个木块A、B和C，它们的质量分别为m_A=m_B=m,m_C=3m,它们与斜面间的动摩擦因数都相同.其中木块A连接一轻弹簧放于斜面上，并通过轻弹簧与挡板M相连，如图1-9-17所示.开始时，木块A静止在P处，弹簧处于自然伸长状态.木块B在Q点以初速度v₀向下运动，P、Q间的距离为L.已知木块B在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A相撞后立刻一起向下运动，但不黏连，它们到达一个最低点后又向上运动，木块B向上运动恰好能回到Q点，木块A仍静止于P点.若木块C从Q点开始以初速度向下运动，经历同样过程，最后木块C停在斜面上的R点，求P、R间的距离L′的大小.

图1-9-17

Answer 1

解析：设木块与斜面间的动摩擦因数为μ，由木块沿斜面匀速下滑知mgsinθ=μmgcosθ ①

设A、B碰撞后共同速度为v₁,弹簧最大压缩量为s，返回弹簧原长处（即P点）分离时速度为v₂,则

由A、B碰撞过程中动量守恒，得

mv₀=2mv₁                                                                   ②

由动能定理，得：

从碰后至最低点（因重力和摩擦力做功代数和为零）W_弹=0-·2mv₁²=-mv₁²        ③

从碰后至返回P点-2μmgcosθ·2s=×2mv₂²-×2mv₁²                       ④

分离后至最高点

Q：-（mgsinθ+μmgcosθ）·L=0-mv₂²                                     ⑤

设C、A碰后速度为v₁′,弹簧最大压缩量为s′，返回P点时速度为v₂′，仿上面同样的讨论，得3m· =4mv₁′                                                ⑥

W_弹′=0-×4mv₁′²                                                      ⑦

-4μmgcosθ·2s′=×4mv₂′²-×4mv₁′²                                 ⑧

-(3mgsinθ+3μmgcosθ)L′=0-×3mv₂′²                                   ⑨

由②③⑥⑦解得W_弹=W_弹′.由弹力做功特点知s=s′                           ⑩

解①④⑤⑧⑨⑩，得L′=

答案：L′=