题目内容
【题目】一球形人造卫星的最大横截面积为
、质量为
，在轨道半径为
的高空绕地球做圆周运动．由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小．卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了
，由于
，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动．设地球可看成质量为
的均匀球体，万有引力常量为
．
（
）求人造卫星在轨道半径为
的高空绕地球做圆周运动的周期
．
（
）取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为
时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为
．请估算人造卫星由半径为
的圆轨道降低到半径为
的圆轨道的过程中，机械能的变化
．
（
）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为
，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变．在满足上述假设的条件下，请估算空气颗粒对卫星在半径为
轨道上运行时，所受阻力
大小的表达式．
【答案】（
）
；（
）
；（
）
．
【解析】（
）卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
．
解得
．
（
）根据牛顿定律和万有引力定律有
．
卫星的运动能为
．
势能为
．
解得
．
卫星高度下降
，在半径为
轨道上运行．同理可知机械为： 
；
卫星轨道高度下降
，其机械能的改变量为： 
．
（
）最大横截面积为
的卫星，经过时间
从图实线位置运动到了图中的虚线位置．该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为： 
．
根据动量定理有： 
．
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
．
解得
．
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小为： 
．
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