题目内容
如图甲所示，在一水平放置的隔板MN的上方，存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示．O为隔板上的一个小孔，通过O点可以从不同方向向磁场区域发射电量为+q，质量为m，速率为v的粒子，且所有入射的粒子都在垂直于磁场的同一平面内运动．不计重力及粒子间的相互作用．（1）如图乙所示，与隔板成45°角的粒子，经过多少时间后再 次打到隔板上？此粒子打到隔板的位置与小孔的距离为多少？
（2）所有从O点射入的带电粒子在磁场中可能经过区域的面积为多少？
（3）若有两个时间间隔为t0的粒子先后射入磁场后恰好在磁场中给定的P点相遇，如图丙所示，则P与O之间的距离为多少？
分析：（1）粒子在匀强磁场中只受洛伦兹力，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出半径和周期，画出轨迹，求出时间和距离．
（2）当粒子的速度平行于MN向右射入磁场时，作出轨迹右边界，根据数学知识画出轨迹可能经过的区域，求出面积．
（3）作出以OP为弦的两个半径相同的圆分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，求出圆心角，解出P与O之间的距离．
（2）当粒子的速度平行于MN向右射入磁场时，作出轨迹右边界，根据数学知识画出轨迹可能经过的区域，求出面积．
（3）作出以OP为弦的两个半径相同的圆分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，求出圆心角，解出P与O之间的距离．
解答：解：（1）、与隔板成45°角的粒子进入磁场后的轨迹如图1所示，设粒子在磁场中的运动半径为R，
则有：qvB=m
…①
粒子在磁场中运动的周期：T=
…②
由于粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为270°，
则粒子在磁场中运动的时间为：t=
T…③
由①②③得 t=
…④
到达隔板的位置与小孔0的距离为：
R=
…⑤
（2）所有通过O点射入的带电粒子可能经过的区域如图2所示．
由图知面积为：S=
πR2…⑥
代入得：S=
…⑦
（3）设OP间的距离为x，如图3所示：以OP为弦可画两个半径相同的圆分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，
设θ为两粒子射入方向的夹角，由几何关系知∠P01Q1=∠P02Q2=θ，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆弧加弧长Rθ，
粒子2的路程为半个圆弧减弧长Rθ
粒子1的运动时间为：
=
T+
（其中T为圆周运动的周期）…⑧
粒子2的运动时间为：
=
T-
…⑨
则两粒子射入的时间间隔：t0=t1-t2=2
…⑩
而：Rcos
=
…（11）
由①⑩（11）得，x=
cos
…（12）
答：（1）粒子经过 t=
时间后再次打到隔板上．此粒子打到隔板的位置与小孔的距离为
．
（2）所有从O点射入的带电粒子在磁场中可能经过区域的面积为S=
．
（3）P与O之间的距离为x=
cos
．
则有：qvB=m
| v2 |
| R |
粒子在磁场中运动的周期：T=
| 2πR |
| v |
由于粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为270°，
则粒子在磁场中运动的时间为：t=
| 3 |
| 4 |
由①②③得 t=
| 3πm |
| 2qB |
到达隔板的位置与小孔0的距离为：
| 2 |
| ||
| qB |
（2）所有通过O点射入的带电粒子可能经过的区域如图2所示．
由图知面积为：S=
| 3 |
| 2 |
代入得：S=
| 3π(mv)2 |
| 2(qB)2 |
（3）设OP间的距离为x，如图3所示：以OP为弦可画两个半径相同的圆分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，
设θ为两粒子射入方向的夹角，由几何关系知∠P01Q1=∠P02Q2=θ，从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆弧加弧长Rθ，
粒子2的路程为半个圆弧减弧长Rθ
粒子1的运动时间为：
| t | 1 |
| 1 |
| 2 |
| Rθ |
| v |
粒子2的运动时间为：
| t | 2 |
| 1 |
| 2 |
| Rθ |
| v |
则两粒子射入的时间间隔：t0=t1-t2=2
| Rθ |
| v |
而：Rcos
| θ |
| 2 |
| x |
| 2 |
由①⑩（11）得，x=
| 2mv |
| qB |
| qBt0 |
| 4m |
答：（1）粒子经过 t=
| 3πm |
| 2qB |
| ||
| qB |
（2）所有从O点射入的带电粒子在磁场中可能经过区域的面积为S=
| 3π(mv)2 |
| 2(qB)2 |
（3）P与O之间的距离为x=
| 2mv |
| qB |
| qBt0 |
| 4m |
点评：带电粒子在匀强磁场匀速圆周运动的问题，关键是画出轨迹，根据几何知识求出半径和圆心角．
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