Question

1．质量为m=1kg的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．B、C为圆弧的两端点，其连线水平．已知圆弧半径R=1.0m，圆弧对应圆心角为θ=106°，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.8m．小物块离开C点后恰能无碰撞的沿固定斜面向上运动，0.8s后经过D点，物块与斜面间的滑动摩擦因数为μ=0.33（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）试求：

（1）小物块离开A点的水平初速度v₁；
（2）小物块经过O点时对轨道的压力；
（3）斜面上CD间的距离．

Answer 1

分析 （1）利用平抛运动规律，在B点对速度进行正交分解，得到水平速度和竖直方向速度的关系，
而竖直方向速度V_y=$\sqrt{2gh}$显然易求，则水平速度V₀可解．
（2）首先利用动能定理解决物块在最低点的速度问题，然后利用牛顿第二定律在最低点表示出向心力，则滑块受到的弹力可解．根据牛顿第三定律可求对轨道的压力．
（3）物块在轨道上上滑属于刹车问题，要求出上滑的加速度、所需的时间；再求出下滑加速度、距离，利用匀变速直线运动规律公式求出位移差．

解答 解：（1）对小物块，由A到B有：v_y²=2gh
在B点有：tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
解得：v₀=3m/s．
（2）对小物块，由B到O由动能定理可得：
mgR（1-sin37°）=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
其中有：v_B=5m/s
在O点有：N-mg=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{R}$
所以：N=43N
由牛顿第三定律知对轨道的压力为：N′=43N
（3）物块沿斜面上滑，由牛顿第二定律有：mgsin53°+μmgcos53°=ma₁
代入数据解得：a₁=10m/s²
物块沿斜面下滑有：mgsin53°-μmgcos53°=ma₂ a₂=6m/s²
由机械能守恒知：v_c=v_B=5m/s
小物块由C上升到最高点历时为：t₁=$\frac{{v}_{C}}{{a}_{1}}$=0.5s
小物块由最高点回到D点历时为：t₂=0.8s-0.5s=0.3s
故SCD=$\frac{{v}_{C}}{2}$t₁-$\frac{1}{2}$a₂${t}_{2}^{2}$
即：S_CD=0.98m．
答：（1）小物块离开A点的水平初速度为3m/s．
 （2）小物块经过O点时对轨道的压力为43N
 （3）斜面上CD间的距离为0.98m

点评 本题是一个单物体多过程的力学综合题，把复杂的过程分解成几个分过程是基本思路．
本题关键是分析清楚物体的运动情况，然后根据动能定理、平抛运动知识、牛顿第二定律、向心力公式列式求解．