Question

如图甲所示，质量为m=0.5kg、电阻r=1Ω的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平固定导轨滑行，导轨足够长，两导轨间宽度为L=1m，导轨电阻不计，电阻R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=1T．杆从x轴原点O以水平初速度向右滑行，直到停止．已知杆在整个运动过程中v随位移x变化的关系如图乙所示．求：
（1）在杆的整个运动过程中，电流对电阻R₁做的功，
（2）在杆的整个运动过程中，通过电阻R₁的电量，
（3）要使R₁产生1J的热量，杆需向右移动的距离及此时R₁的功率．

Answer 1

（1）设整个电路中电流做功为W，则根据功能关系得
   W=

1

2

m

v

20

=

1

2

×0.5×42J=4J
设杆中瞬时电流为I，则电流对杆做功W_ab=I²rt，
电流对R₁做功W₁=I₁²R₁t，电流对R₂做功W₂=I₂²R₂t，
由于

I1

I2

=

R2

R1

=2，则I1=

2

3

I，I₂=

1

3

I
又r=1Ω，R₁=1.5Ω，R₂=3Ω，得W_ab=1.5W₁，W₂=0.5W₁，
∵W=W_ab+W₁+W₂=3W₁，
∴W₁=

1

3

W=

4

3

J
（2）根据

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

r+ R1R2 R1+R2

，q=

.

I

?△t，△Φ=BLx
联立得，通过杆的电量q=

BLx

r+ R1R2 R1+R2

代入解得，q=2C
由于R₁与R₂并联，电流与电阻成反比，而电量q=It，则得
通过电阻R₁的电量q₁=

R2

R1+R2

q=

4

3

C
（3）要使R₁产生1J的热量，由上题电功关系可知，R₁产生0.5J的热量，杆产生的热量为1.5J，电路中产生的总热量为Q=1J+0.5J+1.5J=3J
设此时杆的速度为v，由能量守恒得
   Q+

1

2

mv2=

1

2

m

v

20

，
解得v=2m/s
由图知，杆需向右移动的距离x=1m
此时杆产生的感应电动势为E=BLv=2V，干路中电流为I=

E

R

=1A
则I1=

2

3

I=

2

3

A
此时R₁的功率为P=

I

21

R1=

2

3

W
答：
（1）在杆的整个运动过程中，电流对电阻R₁做的功为

4

3

J，
（2）在杆的整个运动过程中，通过电阻R₁的电量为

4

3

C，
（3）要使R₁产生1J的热量，杆需向右移动的距离为2m，此时R₁的功率为

2

3

W．