Question

如图所示，C、D为平行正对的两金属板，在D板右方一边长为l=6.0cm的正方形区域内存在匀强磁场，该区域恰好在一对平行且正对的金属板M、N之间，M、N两板均接地，距板的右端L=12.0cm处放置一观察屏．在C、D两板间加上如图乙所示的交变电压，并从C板O处以每秒1 000个的频率均匀的源源不断地释放出电子，所有电子的初动能均为E_k0=120eV，初速度方向均沿OO′直线，通过电场的电子从M、N的正中间垂直射入磁场．已知电子的质量为m=9.0×10^-31 kg，磁感应强度为B=6.0×10^-4 T．问：
（1）电子从D板上小孔O′点射出时，速度的最大值是多大？
（2）电子到达观察屏（观察屏足够大） 上的范围有多大？
（3）在u_CD变化的一个周期内，有多少个电子能到达观察屏？

Answer 1

分析：（1）电子在CD间运动时，电场力做正功，动能增大，当U_CD=200 V时，粒子获得最大速度，根据动能定理求解；
（2）电子进入磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供其向心力．速度最大时，轨迹半径；速度最小时，轨迹半径也最小．根据半径公式r=

mv

qB

求出电子轨迹的最大半径，画出轨迹示意图，由几何知识求出电子轨迹的最小半径，即可求得电子到达观察屏（观察屏足够大） 上的范围．
（3）先根据轨迹半径公式求出半径最小时，由动能定理求出CD间的电压U_CD1．则在u_CD变化的一个周期内，即可时间与周期的关系求解．

解答：解：（1））当U_CD=200 V时，电子获得最大速度v_max．由动能定理得：eU_CD=

1

2

m

v

2 max

-

1

2

m

v

2 0

得最大速度v_max=

32

3

×10⁶ m/s；
（2）电子在磁场中的最大半径：R_max=

mvmax

eB

=10 cm
设电子在磁场中最大的偏转角为θ₁，则有
  sinθ₁=

l

Rmax

=

3

5

在荧光屏上最小的偏转距离为：
y_min=R_max（1-cosθ₁）+Ltanθ₁=11 cm．
最小半径应满足：

R

2 min

=l²+(Rmin-

1

2

)2
∴R_min=7.5 cm，sinθ₂=

1

Rmin

=

4

5

在荧光屏上最在的偏转距离为：
y_max=

l

2

+Ltanθ₂=19 cm
∴电子到达观察屏（观察屏足够大） 上的范围为：△y=y_max-y_min=8 cm．
（3）电子的最小半径为：R_min=

mvmin

eB

设对应的加速电压为U_CD1．
根据动能定理得：eU_CD1=

1

2

m

v

2 min

-E_k0；
∴U_AB1=60 V
∴n=2

Um-UCD1

Um

×1000=2×

200-60

200

×1000=1400（个）
答：
（1）电子从D板上小孔O′点射出时，速度的最大值是

32

3

×10⁶ m/s；
（2）电子到达观察屏（观察屏足够大） 上的范围有8cm．
（3）在u_CD变化的一个周期内，有1400个电子能到达观察屏．

点评：本题中根据动能定理求电子加速得到的速度，在磁场中，画出电子的运动轨迹，运用几何知识进行分析和计算相关的距离，都是常用的方法．